Przeczytaj
W prostokątnym układzie współrzędnych umieścimy w położeniu standardowym kąty o miarach oraz , gdzie . Zauważmy, że ponieważ kąt o mierze jest ostry (drugie ramię leży w ćwiartce układu), kąt o mierze jest wklęsły (drugie ramię leży w ćwiartce układu).
Na drugim ramieniu kąta wybieramy punkt o współrzędnych i promieniu wodzącym . Na drugim ramieniu kąta o mierze wybieramy taki punkt , którego promień wodzący jest również równy . Wówczas, przy oznaczeniach jak na rysunku powyżej, kąt ma miarę , zaś trójkąty prostokątne oraz są przystające na mocy cechy kąt‑bok‑kąt. Wynika stąd, że współrzędne punktu są równe .
Zauważmy teraz, że wprost z definicji funkcji trygonometrycznych zachodzą następujące równości:
Otrzymujemy zatem równości:
Chociaż powyższy dowód został przeprowadzony dla kąta ostrego , to wzory redukcyjnewzory redukcyjne pozostają prawdziwe dla kąta o dowolnej mierze, dla której określona jest funkcja tangens.
Powyższe wzory można uzyskać również korzystając z innych własności funkcji trygonometrycznych. Wiemy już, że wartości funkcji trygonometrycznych powtarzają się co , czyli że liczba jest okresem funkcji trygonometrycznychokresem funkcji trygonometrycznych (dla funkcji sinus i cosinus jest nawet okresem podstawowym). Od argumentów można zatem odjąć dowolną całkowitą wielokrotność liczby , co nie zmieni wartości funkcji trygonometrycznych.
Wobec powyższego prawdziwe są następujące równości:
Korzystając z parzystości funkcji cosinusparzystości funkcji cosinus oraz nieparzystości funkcji sinus i tangensnieparzystości funkcji sinus i tangens, otrzymujemy:
Zatem z przechodniości relacji równości wynika:
Obliczymy wartości podanych wyrażeń trygonometrycznych:
,
,
.
Korzystając z tablic trygonometrycznych obliczymy wartości funkcji trygonometrycznych kąta o mierze .
Dla kąta alfa i beta równych kolejno 0 i 90 stopni sinus alfa i cosinus beta są równe 0 a tangens alfa jest równy 0.
Dla kąta alfa i beta równych kolejno 1 i 89 stopni sinus alfa i cosinus beta są równe 0,0175 a tangens alfa jest równy 0,0175.
Dla kąta alfa i beta równych kolejno 2 i 88 stopni sinus alfa i cosinus beta są równe 0,0349 a tangens alfa jest równy 0,0349.
Dla kąta alfa i beta równych kolejno 7 i 83 stopni sinus alfa i cosinus beta są równe 0,1219 a tangens alfa jest równy 0,1228.
Dla kąta alfa i beta równych kolejno 8 i 82 stopni sinus alfa i cosinus beta są równe 0,1392 a tangens alfa jest równy 0,1405.
Dla kąta alfa i beta równych kolejno 9 i 81 stopni sinus alfa i cosinus beta są równe 0,1564 a tangens alfa jest równy 0,1584.
Dla kąta alfa i beta równych kolejno 35 i 55 stopni sinus alfa i cosinus beta są równe 0,5736 a tangens alfa jest równy 0,7002.
Dla kąta alfa i beta równych kolejno 36 i 54 stopni sinus alfa i cosinus beta są równe 0,5878 a tangens alfa jest równy 0,7265.
Dla kąta alfa i beta równych kolejno 37 i 53 stopni sinus alfa i cosinus beta są równe 0,6018 a tangens alfa jest równy 0,7265.
Dla kąta alfa i beta równych kolejno 46 i 44 stopni sinus alfa i cosinus beta są równe 0,7193 a tangens alfa jest równy 1,0355.
Dla kąta alfa i beta równych kolejno 47 i 43 stopni sinus alfa i cosinus beta są równe 0,7314 a tangens alfa jest równy 1,0724.
Dla kąta alfa i beta równych kolejno 48 i 42 stopni sinus alfa i cosinus beta są równe 0,7431 a tangens alfa jest równy 1,1106.
Dla kąta alfa i beta równych kolejno 53 i 37 stopni sinus alfa i cosinus beta są równe 0,7986 a tangens alfa jest równy 1,3270.
Dla kąta alfa i beta równych kolejno 54 i 36 stopni sinus alfa i cosinus beta są równe 0,8090 a tangens alfa jest równy 1,3764.
Dla kąta alfa i beta równych kolejno 55 i 35 stopni sinus alfa i cosinus beta są równe 0,8192 a tangens alfa jest równy 1,4281.
Dla kąta alfa i beta równych kolejno 81 i 9 stopni sinus alfa i cosinus beta są równe 0,9877 a tangens alfa jest równy 6,3138.
Dla kąta alfa i beta równych kolejno 82 i 8 stopni sinus alfa i cosinus beta są równe 0,9903 a tangens alfa jest równy 7,1154.
Dla kąta alfa i beta równych kolejno 83 i 7 stopni sinus alfa i cosinus beta są równe 0,9925 a tangens alfa jest równy 8,1443.
Zauważmy najpierw, że .
Zatem przydadzą się nam wartości funkcji trygonometrycznych kąta o mierze , które odczytujemy z tablic trygonometrycznych.
Kąt o mierze łukowej równej ma miarę stopniową równą .
Stąd mamy , , . Zatem:
,
,
.
Wiadomo, że oraz . Obliczymy wartość .
Przekształcimy równość daną w założeniu korzystając z tożsamości , , , , :
Skorzystamy z jedynki trygonometrycznejjedynki trygonometrycznej .
Ponieważ , więc .
Stąd .
Porównamy liczby , , , , .
Zauważmy, że
Wprost z definicji funkcji sinus dla kątów ostrych , można wywnioskować, że jeśli , to .
Stąd ,
czyli .
Słownik
zestaw wzorów pozwalających redukować argumenty funkcji trygonometrycznych do miar z przedziału w celu wyliczenia wartości tych funkcji
tożsamość trygonometryczna, która orzeka, że suma kwadratów sinusa i cosinusa dowolnego argumentu jest równa ; zwana też trygonometryczną wersją twierdzenia Pitagorasa
własność funkcji trygonometrycznych, która orzeka, że wartości funkcji sinus oraz funkcji cosinus powtarzają się co , zaś wartości funkcji tangens powtarzają się co ; innymi słowy dla każdego zachodzą równości
ogólnie: własność, która orzeka, że dla pary przeciwnych argumentów funkcja przyjmuje równe wartości (o ile dziedzina jest zbiorem symetrycznym względem zera); w przypadku cosinusa własność oznacza, że dla dowolnego zachodzi równość
ogólnie: własność, która orzeka, że dla pary przeciwnych argumentów funkcja przyjmuje przeciwne wartości (o ile dziedzina jest zbiorem symetrycznym względem zera); w przypadku sinusa i tangensa własność oznacza, że dla dowolnego zachodzą równości
oraz