Przeczytaj

W prostokątnym układzie współrzędnych umieścimy w położeniu standardowym kąty o miarach $α$ oraz $2 π - α$ , gdzie $α \in (0, \frac{π}{2})$ . Zauważmy, że ponieważ kąt o mierze $α$ jest ostry (drugie ramię leży w $I$ ćwiartce układu), kąt o mierze $2 π - α$ jest wklęsły (drugie ramię leży w $IV$ ćwiartce układu).

RDQUGlrKWlMBz

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z osiami X i Y. Zaznaczono na nim dwie proste. Pierwsza przebiegająca przez pierwszą ćwiartkę układu do początku układu współrzędnych. Przez prostą przebiega punkt A o współrzędnych x;y. Druga przebiegająca przez czwartą ćwiartkę układu do początku układu współrzędnych stanowi on r długość prostej. Przez prostą przebiega punkt A prim o współrzędnych x;-y stanowi on r długość prostej . Punkty A i A prim się łączą tworząc przerywana prostą. Prosta przecina się z osią X w punkcie P. Kąt między prostymi a osią X ma wielkość alfa. Kąt wypukły między tymi prostymi ma wielkość 2π-α

Na drugim ramieniu kąta $α$ wybieramy punkt $A$ o współrzędnych $(x, y)$ i promieniu wodzącym $r$ . Na drugim ramieniu kąta o mierze $2 π - α$ wybieramy taki punkt $A'$ , którego promień wodzący jest również równy $r$ . Wówczas, przy oznaczeniach jak na rysunku powyżej, kąt $A' O P$ ma miarę $α$ , zaś trójkąty prostokątne $A' O P$ oraz $A O P$ są przystające na mocy cechy kąt‑bok‑kąt. Wynika stąd, że współrzędne punktu $A'$ są równe $(x, - y)$ .

Zauważmy teraz, że wprost z definicji funkcji trygonometrycznych zachodzą następujące równości:

$\sin α = \frac{y}{r}$	$\sin (2 π - α) = \frac{- y}{r} = - \frac{y}{r}$
$\cos α = \frac{x}{r}$	$\cos (2 π - α) = \frac{x}{r}$
$tg α = \frac{y}{x}$	$tg (2 π - α) = \frac{- y}{x} = - \frac{y}{x}$

Otrzymujemy zatem równości:

\sin (2 π - α) = - \sin α

\cos (2 π - α) = \cos α

tg (2 π - α) = - tg α

Chociaż powyższy dowód został przeprowadzony dla kąta ostrego $α$ , to wzory redukcyjnewzory redukcyjnewzory redukcyjne pozostają prawdziwe dla kąta o dowolnej mierze, dla której określona jest funkcja tangens.

Powyższe wzory można uzyskać również korzystając z innych własności funkcji trygonometrycznych. Wiemy już, że wartości funkcji trygonometrycznych powtarzają się co $2 π$ , czyli że liczba $2 π$ jest okresem funkcji trygonometrycznychokresowość funkcji trygonometrycznychokresem funkcji trygonometrycznych (dla funkcji sinus i cosinus jest nawet okresem podstawowym). Od argumentów można zatem odjąć dowolną całkowitą wielokrotność liczby $2 π$ , co nie zmieni wartości funkcji trygonometrycznych.

Wobec powyższego prawdziwe są następujące równości:

\sin (2 π - α) = \sin (- α)

\cos (2 π - α) = \cos (- α)

tg (2 π - α) = tg (- α)

Korzystając z parzystości funkcji cosinusparzystość funkcji cosinusparzystości funkcji cosinus oraz nieparzystości funkcji sinus i tangensnieparzystość funkcji sinus/tangensnieparzystości funkcji sinus i tangens, otrzymujemy:

\sin (- α) = - \sin α

\cos (- α) = \cos α

tg (- α) = - tg α

Zatem z przechodniości relacji równości wynika:

\sin (2 π - α) = - \sin α

\cos (2 π - α) = \cos α

tg (2 π - α) = - tg α

Przykład 1

Obliczymy wartości podanych wyrażeń trygonometrycznych:

$\sin \frac{5 π}{3} = \sin (2 π - \frac{π}{3}) = - \sin \frac{π}{3} = - \frac{\sqrt{3}}{2}$ ,

$\cos \frac{11 π}{6} = \cos (2 π - \frac{π}{6}) = \cos \frac{π}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ,

$tg \frac{7 π}{4} = tg (2 π - \frac{π}{4}) = - tg \frac{π}{4} = - 1$ .

Przykład 2

Korzystając z tablic trygonometrycznych obliczymy wartości funkcji trygonometrycznych kąta o mierze $\frac{9 π}{5}$ .

RUExGDNUCVtp3

Dla kąta alfa i beta równych kolejno 0 i 90 stopni sinus alfa i cosinus beta są równe 0 a tangens alfa jest równy 0.

Dla kąta alfa i beta równych kolejno 1 i 89 stopni sinus alfa i cosinus beta są równe 0,0175 a tangens alfa jest równy 0,0175.

Dla kąta alfa i beta równych kolejno 2 i 88 stopni sinus alfa i cosinus beta są równe 0,0349 a tangens alfa jest równy 0,0349.

Dla kąta alfa i beta równych kolejno 7 i 83 stopni sinus alfa i cosinus beta są równe 0,1219 a tangens alfa jest równy 0,1228.

Dla kąta alfa i beta równych kolejno 8 i 82 stopni sinus alfa i cosinus beta są równe 0,1392 a tangens alfa jest równy 0,1405.

Dla kąta alfa i beta równych kolejno 9 i 81 stopni sinus alfa i cosinus beta są równe 0,1564 a tangens alfa jest równy 0,1584.

Dla kąta alfa i beta równych kolejno 35 i 55 stopni sinus alfa i cosinus beta są równe 0,5736 a tangens alfa jest równy 0,7002.

Dla kąta alfa i beta równych kolejno 36 i 54 stopni sinus alfa i cosinus beta są równe 0,5878 a tangens alfa jest równy 0,7265.

Dla kąta alfa i beta równych kolejno 37 i 53 stopni sinus alfa i cosinus beta są równe 0,6018 a tangens alfa jest równy 0,7265.

Dla kąta alfa i beta równych kolejno 46 i 44 stopni sinus alfa i cosinus beta są równe 0,7193 a tangens alfa jest równy 1,0355.

Dla kąta alfa i beta równych kolejno 47 i 43 stopni sinus alfa i cosinus beta są równe 0,7314 a tangens alfa jest równy 1,0724.

Dla kąta alfa i beta równych kolejno 48 i 42 stopni sinus alfa i cosinus beta są równe 0,7431 a tangens alfa jest równy 1,1106.

Dla kąta alfa i beta równych kolejno 53 i 37 stopni sinus alfa i cosinus beta są równe 0,7986 a tangens alfa jest równy 1,3270.

Dla kąta alfa i beta równych kolejno 54 i 36 stopni sinus alfa i cosinus beta są równe 0,8090 a tangens alfa jest równy 1,3764.

Dla kąta alfa i beta równych kolejno 55 i 35 stopni sinus alfa i cosinus beta są równe 0,8192 a tangens alfa jest równy 1,4281.

Dla kąta alfa i beta równych kolejno 81 i 9 stopni sinus alfa i cosinus beta są równe 0,9877 a tangens alfa jest równy 6,3138.

Dla kąta alfa i beta równych kolejno 82 i 8 stopni sinus alfa i cosinus beta są równe 0,9903 a tangens alfa jest równy 7,1154.

Dla kąta alfa i beta równych kolejno 83 i 7 stopni sinus alfa i cosinus beta są równe 0,9925 a tangens alfa jest równy 8,1443.

Zauważmy najpierw, że $\frac{9 π}{5} = 2 π - \frac{π}{5}$ .

Zatem przydadzą się nam wartości funkcji trygonometrycznych kąta o mierze $\frac{π}{5}$ , które odczytujemy z tablic trygonometrycznych.

Kąt o mierze łukowej równej $\frac{π}{5}$ ma miarę stopniową równą $36 °$ .

Stąd mamy $\sin \frac{π}{5} \approx 0, 5878$ , $\cos \frac{π}{5} \approx 0, 809$ , $tg \frac{π}{5} \approx 0, 7265$ . Zatem:

$\sin \frac{9 π}{5} = \sin (2 π - \frac{π}{5}) = - \sin \frac{π}{5} \approx - 0, 5878$ ,

$\cos \frac{9 π}{5} = \cos (2 π - \frac{π}{5}) = \cos \frac{π}{5} \approx 0, 809$ ,

$tg \frac{9 π}{5} = tg (2 π - \frac{π}{5}) = - tg \frac{π}{5} \approx - 0, 7265$ .

Przykład 3

Wiadomo, że $x \in (0, \frac{π}{2})$ oraz $\frac{2 \sin (π + x)}{- \cos (2 π - x)} + \frac{\cos (2 π + x)}{\sin (\frac{π}{2} - x)} + tg (2 π - x) = 3$ . Obliczymy wartość $\cos x$ .

Przekształcimy równość daną w założeniu korzystając z tożsamości $\cos (2 π - x) = \cos x$ , $\sin (π + x) = - \sin x$ , $\cos (2 π + x) = \cos x$ , $tg (2 π - x) = - tg x$ , $\sin (\frac{π}{2} - x) = \cos x$ :

$\frac{2 \sin (π + x)}{- \cos (2 π - x)} + \frac{\cos (2 π + x)}{\sin (\frac{π}{2} - x)} + tg (2 π - x) = 3$

$\frac{- 2 \sin x}{- \cos x} + \frac{\cos x}{\cos x} - tg x = 3$

$\frac{2 \sin x}{\cos x} + 1 - \frac{\sin x}{\cos x} = 3$

$\frac{\sin x}{\cos x} = 2$

$\sin x = 2 \cos x$

Skorzystamy z jedynki trygonometrycznejjedynka trygonometrycznajedynki trygonometrycznej $\sin^{2} x + \cos^{2} x = 1$ .

${(2 \cos x)}^{2} + \cos^{2} x = 1$

$4 \cos^{2} x + \cos^{2} x = 1$

$5 \cos^{2} x = 1$

$\cos^{2} x = \frac{1}{5}$

Ponieważ $x \in (0, \frac{π}{2})$ , więc $\cos x > 0$ .

Stąd $\cos x = \sqrt{\frac{1}{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$ .

Przykład 4

Porównamy liczby $\cos \frac{9 π}{22}$ , $\sin \frac{9 π}{11}$ , $- \sin \frac{14 π}{11}$ , $- \sin \frac{18 π}{11}$ , $\sin \frac{27 π}{11}$ .

Zauważmy, że

$\cos \frac{9 π}{22} = \cos (\frac{11 π}{22} - \frac{2 π}{22}) = \cos (\frac{π}{2} - \frac{π}{11}) = \sin \frac{π}{11}$

$\sin \frac{9 π}{11} = \sin (π - \frac{2 π}{11}) = \sin \frac{2 π}{11}$

$- \sin \frac{14 π}{11} = - \sin (π + \frac{3 π}{11}) = \sin \frac{3 π}{11}$

$- \sin \frac{18 π}{11} = - \sin (2 π - \frac{4 π}{11}) = \sin \frac{4 π}{11}$

$\sin \frac{27 π}{11} = \sin (2 π + \frac{5 π}{11}) = \sin \frac{5 π}{11}$

Wprost z definicji funkcji sinus dla kątów ostrych $α$ , $β$ można wywnioskować, że jeśli $α < β$ , to $\sin α < \sin β$ .

Stąd $\sin \frac{π}{11} < \sin \frac{2 π}{11} < \sin \frac{3 π}{11} < \sin \frac{4 π}{11} < \sin \frac{5 π}{11}$ ,

czyli $\cos \frac{9 π}{22} < \sin \frac{9 π}{11} < - \sin \frac{14 π}{11} < - \sin \frac{18 π}{11} < \sin \frac{27 π}{11}$ .

Słownik

wzory redukcyjne

zestaw wzorów pozwalających redukować argumenty funkcji trygonometrycznych do miar z przedziału $(0, \frac{π}{2})$ w celu wyliczenia wartości tych funkcji

jedynka trygonometryczna

tożsamość trygonometryczna, która orzeka, że suma kwadratów sinusa i cosinusa dowolnego argumentu jest równa $1$ ; zwana też trygonometryczną wersją twierdzenia Pitagorasa

okresowość funkcji trygonometrycznych

własność funkcji trygonometrycznych, która orzeka, że wartości funkcji sinus oraz funkcji cosinus powtarzają się co $2 π$ , zaś wartości funkcji tangens powtarzają się co $π$ ; innymi słowy dla każdego $x \in ℝ$ zachodzą równości

\sin (x + 2 π) = \sin x

\cos (x + 2 π) = \cos x

tg (x + π) = tg x

parzystość funkcji cosinus

ogólnie: własność, która orzeka, że dla pary przeciwnych argumentów funkcja przyjmuje równe wartości (o ile dziedzina jest zbiorem symetrycznym względem zera); w przypadku cosinusa własność oznacza, że dla dowolnego $x$ zachodzi równość

\cos (- x) = \cos x

nieparzystość funkcji sinus/tangens

ogólnie: własność, która orzeka, że dla pary przeciwnych argumentów funkcja przyjmuje przeciwne wartości (o ile dziedzina jest zbiorem symetrycznym względem zera); w przypadku sinusa i tangensa własność oznacza, że dla dowolnego $x$ zachodzą równości

\sin (- x) = - \sin x

oraz

tg (- x) = - tg x

Wprowadzenie

Galeria zdjęć interaktywnych

Słownik