Ilustracja interaktywna. Przykład pierwszy. Obliczymy granicę: $\underset{x\to \pi }{\lim }{2}^{\cos x}$. 1. Podstawiamy $x=\pi$ do wzoru funkcji, otrzymując $2^{\cos x}$., 2. Obliczamy wartość funkcji cosinus dla $x=\pi$, otrzymując $2^{-1}$, 3. Korzystamy z definicji potęgi o wykładniku ujemnym. Rozwiązaniem jest $\frac{1}{2}$.

Ilustracja interaktywna. Przykład drugi. Obliczymy granicę: $\underset{x\to 0}{\lim }\mathrm{tg}\left(\frac{x^2+\pi x}{4x}\right)$ 1. Wyciągamy $x$ przed nawias w liczniku argumentu funkcji tangens i skracamy z mianownikiem, otrzymując $\underset{x\to 0}{\lim }\mathrm{tg}\frac{{\displaystyle x+\pi }}{{\displaystyle 4}}$., 2. Podstawiamy $x=0$ do wzoru funkcji, otrzymując $\mathrm{tg}\frac{{\displaystyle \pi }}{{\displaystyle 4}}$., 3. Obliczamy wartość funkcji tangens dla argumentu $\frac{\pi }{4}$. Granica wynosi jeden, a całe równanie ma postać: $\underset{x\to 0}{\lim }\mathrm{tg}\left(\frac{x^2+\pi x}{4x}\right)=\underset{x\to 0}{\lim }\mathrm{tg}\frac{x+\pi }{4}=\mathrm{tg}\frac{\pi }{4}=1$.

Ilustracja interaktywna. Przykład trzeci. Obliczymy granicę: $\underset{x\to 4}{\lim }\left({\log }_{6}x+{\log }_6\left(x+5\right)\right)$. 1. Korzystamy ze wzoru na sumę logarytmów, otrzymując $\underset{x\to 4}{\lim }{\log }_6\left(x^2+5x\right)$., 2. Podstawiamy $x=4$ do wzoru funkcji, otrzymując ${\log }_6\left(16+20\right)$., 3. Obliczamy wartość otrzymanego logarytmu i mamy $={\log }_{6}36=2$. Całe równanie ma postać: $\underset{x\to 4}{\lim }\left({\log }_{6}x+{\log }_6\left(x+5\right)\right)=\underset{x\to 4}{\lim }{\log }_6\left(x^2+5x\right)={\log }_6\left(16+20\right)={\log }_{6}36=2$.

Ilustracja interaktywna. Przykład czwarty. Obliczymy granicę: $\underset{x\to 3}{\lim }{\log }_8\left(x^2+2x+1\right)$. 1. Podstawiamy $x=3$ do wzoru funkcji, otrzymując ${\log }_{8}16$., 2. Przedstawiamy $16$ w postaci iloczynu $8•2$ i korzystamy ze wzoru na logarytm iloczynu, skąd otrzymujemy ${\log }_{8}8+{\log }_{8}2$., 3. Zapisujemy liczbę $2$ w postaci potęgi liczby $8$ i korzystamy ze wzoru na logarytm potęgi, otrzymując $1+{\log }_8\left(8^{\frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle 3}}}\right)=1+\frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle 3}}=\frac{{\displaystyle 4}}{{\displaystyle 3}}$. Całe równanie ma postać: $\underset{x\to 3}{\lim }{\log }_8\left(x^2+2x+1\right)={\log }_{8}16={\log }_{8}8+{\log }_{8}2=1+{\log }_8\left(8^{\frac{1}{3}}\right)=1+\frac{1}{3}=\frac{4}{3}$.

Ilustracja interaktywna. Przykład piąty. Obliczymy granicę: $\underset{x\to 1}{\lim }{16}^{\frac{2x+1}{x+3}}$. 1. Podstawiamy $x=1$ do wzoru funkcji, otrzymując ${16}^{\frac{3}{4}}$., 2. Korzystamy z definicji potęgi o wykładniku wymiernym ${\left(\sqrt[4]{16}\right)}^3$., 3. Ponieważ $2^4=16$, więc granica jest równa $8$. Zatem mamy <math23=8. Całe równanie ma postać: $\underset{x\to 1}{\lim }{16}^{\frac{2x+1}{x+3}}={16}^{\frac{3}{4}}={\left(\sqrt[4]{16}\right)}^3=2^3=8$.