Przeczytaj
Czym są funkcje elementarne?
Zanim przejdziemy do metod obliczania granic funkcji, dowiemy się, jakie funkcje zaliczamy do tzw. funkcji elementarnych.
Do funkcji elementarnych zaliczamy następujące funkcje
wielomiany (w szczególności funkcje liniowe i kwadratowe),
funkcje wymierne,
funkcje wykładnicze,
funkcje logarytmiczne,
funkcje trygonometryczne,
funkcje typu .
Ponadto funkcją elementarną jest suma, róznica, iloczyn, iloraz oraz złożenie dowolnych dwóch funkcji elementarnych.
Jak obliczyć granicę funkcji w punkcie?
Dla funkcji elementarnych prawdziwa jest następująca własność?
Jeżeli funkcja jest funkcją elementarną oraz , to funkcja posiada granicę w punkcie oraz
Korzystając z powyższej własności, obliczymy poniższe granice.
Rozwiązanie
Ad 1.
Ad 2.
Ad 3.
Ad 4.
Powyższą własność możemy stosować jedynie w przypadku, gdy punkt w którym liczymy granicę należy do dziedziny funkcji elementarnej. Poniższe przykłady pokazują, w jaki sposób możemy próbować obliczyć granice pewnych typów funkcji w punktach nienależących do ich dziedziny.
Obliczymy granicę
Rozwiązanie
Rozpoczniemy od wyznaczenia dziedziny funkcji . W tym celu wyznaczamy miejsca zerowe mianownika.
Stąd
Zatem . Punkt nie należy do dziedziny funkcji , więc nie możemy zastosować wcześniejszej własności. Aby obliczyć granicę funkcji uprościmy jej wzór. W tym celu zapisujemy licznik i mianownik w postaci iloczynowejpostaci iloczynowej. Miejsca zerowe mianownika już policzyliśmy, policzmy zatem miejsca zerowe licznika.
Stąd
Wzór funkcji możemy więc zapisać następująco
dla Zatem
Obliczymy granicę
Rozwiązanie
Na początek wyznaczymy dziedzinę funkcji . Pierwiastek kwadratowy możemy obliczyć tylko z liczb nieujemnych. Zatem musi być spełniony warunek . Ponadto nie możemy dzielić przez zero, czyli . Ostatecznie . Widzimy stąd, że w punkcie możemy obliczyć tylko granicę prawostronną. Ponieważ , więc nie możemy podstawić liczby do wzoru funkcji. Spróbujmy zatem ją uprościć. W tym celu zapiszemy licznik w postaci iloczynowejpostaci iloczynowej. Ponieważ więc
Stąd otrzymujemy
Obliczymy granicę
Rozwiązanie
Zaczniemy od wyznaczenia dziedziny funkcji . Mamy
Podsumowując: . Zatem, aby obliczyć granicę naszej funkcji w punkcie , musimy najpierw przekształcić jej wzór do innej postaci. Dążymy do tego, aby dla mianownik nie był równy zero. W tym celu pomnożymy licznik i mianownik funkcji przez wyrażenie . Otrzymamy wówczas
W mianowniku korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratówróżnicę kwadratów
Stąd nasza granica jest równa
Słownik
, gdzie