Przeczytaj

Czym są funkcje elementarne?

Zanim przejdziemy do metod obliczania granic funkcji, dowiemy się, jakie funkcje zaliczamy do tzw. funkcji elementarnych.

Funkcje elementarne

Do funkcji elementarnych zaliczamy następujące funkcje

wielomiany (w szczególności funkcje liniowe i kwadratowe),
funkcje wymierne,
funkcje wykładnicze,
funkcje logarytmiczne,
funkcje trygonometryczne,
funkcje typu $f(x)=\sqrt[n]{x}$ .

Ponadto funkcją elementarną jest suma, róznica, iloczyn, iloraz oraz złożenie dowolnych dwóch funkcji elementarnych.

Jak obliczyć granicę funkcji w punkcie?

Dla funkcji elementarnych prawdziwa jest następująca własność?

Granica funkcji elementarnej w punkcie

Własność: Granica funkcji elementarnej w punkcie

Jeżeli funkcja $f : D_{f} \to ℝ$ jest funkcją elementarną oraz $x_0\in D_f$ , to funkcja $f$ posiada granicę w punkcie $x_0$ oraz

$\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=f(x_0).$

Przykład 1

Korzystając z powyższej własności, obliczymy poniższe granice.

$\lim\limits_{x\to -1}\frac{x^2+3}{x-1}$

$\lim\limits_{x\to 0}3^{2x-1}$

$\lim\limits_{x\to 3}\text{log}_4(x^2+7)$

$\lim\limits_{x\to \frac{\pi}{2}}\sin (x+\pi)$

Rozwiązanie

Ad 1.

$\lim\limits_{x\to -1}\frac{x^2+3}{x-1}=\frac{(-1)^2+3}{-1-1}=\frac{4}{-2}=-2.$

Ad 2.

$\lim\limits_{x\to 0}3^{2x-1}=3^{2\cdot 0 - 1}=3^{-1}=\frac{1}{3}.$

Ad 3.

$\lim\limits_{x\to 3}\text{log}_4(x^2+7)=\text{log}_4(3^2+7)=\text{log}_416=2.$

Ad 4.

$\lim\limits_{x\to \frac{\pi}{2}}\sin (x+\pi)=\sin (\frac{\pi}{2}+\pi)=-\sin\frac{\pi}{2}=-1.$

Powyższą własność możemy stosować jedynie w przypadku, gdy punkt w którym liczymy granicę należy do dziedziny funkcji elementarnej. Poniższe przykłady pokazują, w jaki sposób możemy próbować obliczyć granice pewnych typów funkcji w punktach nienależących do ich dziedziny.

Przykład 2

Obliczymy granicę

$\lim\limits_{x\to-2}\frac{2x^2+3x-2}{x^2+3x+2}.$

Rozwiązanie

Rozpoczniemy od wyznaczenia dziedziny funkcji $f(x)=\frac{2x^2+3x-2}{x^2+3x+2}$ . W tym celu wyznaczamy miejsca zerowe mianownika.

$\Delta=3^2-4\cdot 2=1.$

Stąd

$x_1=\frac{-3-1}{2}=-2 \quad\text{oraz}\quad x_2=\frac{-3+1}{2}=-1.$

Zatem $D_f=\mathbb{R}\setminus \lbrace -2,-1 \rbrace$ . Punkt $x_0=-2$ nie należy do dziedziny funkcji $f$ , więc nie możemy zastosować wcześniejszej własności. Aby obliczyć granicę funkcji $f$ uprościmy jej wzór. W tym celu zapisujemy licznik i mianownik w postaci iloczynowejpostać iloczynowa funkcji kwadratowejpostaci iloczynowej. Miejsca zerowe mianownika już policzyliśmy, policzmy zatem miejsca zerowe licznika.

$\Delta=3^2+4\cdot 2\cdot 2=9+16=25.$

Stąd

$x_1=\frac{-3-5}{4}=-2 \quad\text{oraz}\quad x_2=\frac{-3+5}{4}=\frac{1}{2}.$

Wzór funkcji $f$ możemy więc zapisać następująco

$f(x)=\frac{2x^2+3x-2}{x^2+3x+2}=\frac{(x+2)(2x-1)}{(x+2)(x+1)}=\frac{2x-1}{x+1}.$

dla $x\in D_f.$ Zatem

$\lim\limits_{x\to-2}\frac{2x^2+3x-2}{x^2+3x+2}=\lim\limits_{x\to-2}\frac{2x-1}{x+1}=\frac{2\cdot (-2) -1}{-2+1}=5.$

Przykład 3

Obliczymy granicę

$\lim\limits_{x\to 1^+}\frac{x^2+x-2}{\sqrt{x-1}}.$

Rozwiązanie

Na początek wyznaczymy dziedzinę funkcji $f(x)=\frac{x^2+x-2}{\sqrt{x-1}}$ . Pierwiastek kwadratowy możemy obliczyć tylko z liczb nieujemnych. Zatem musi być spełniony warunek $x-1\ge 0$ . Ponadto nie możemy dzielić przez zero, czyli $x-1\neq 0$ . Ostatecznie $D_f=(1,+\infty)$ . Widzimy stąd, że w punkcie $x_0=1$ możemy obliczyć tylko granicę prawostronną. Ponieważ $x_0=1\notin D_f$ , więc nie możemy podstawić liczby $1$ do wzoru funkcji. Spróbujmy zatem ją uprościć. W tym celu zapiszemy licznik w postaci iloczynowejpostać iloczynowa funkcji kwadratowejpostaci iloczynowej. Ponieważ $\Delta = 1+8=9$ więc

$x_1=\frac{-1-3}{2}=-2 \quad , \quad x_2=\frac{-1+3}{2}=1.$

Stąd otrzymujemy

$\lim\limits_{x\to 1^+}\frac{x^2+x-2}{\sqrt{x-1}}=\lim\limits_{x\to 1^+}\frac{(x-1)(x+2)}{\sqrt{x-1}}=\lim\limits_{x\to 1^+}(\sqrt{x-1}(x+2))=0\cdot 3=0.$

Przykład 4

Obliczymy granicę

$\lim\limits_{x\to3}\frac{x-3}{2-\sqrt{x+1}}.$

Rozwiązanie

Zaczniemy od wyznaczenia dziedziny funkcji $f(x)=\frac{x-3}{2-\sqrt{x+1}}$ . Mamy

$x+1\ge 0\Rightarrow x\ge -1$
$2-\sqrt{x+1}\neq 0 \Rightarrow \sqrt{x+1}\neq 2 \Rightarrow x+1\neq 4 \Rightarrow x\neq 3$

Podsumowując: $D_f=\langle-1,3)\cup(3,+\infty)$ . Zatem, aby obliczyć granicę naszej funkcji w punkcie $x_0=3$ , musimy najpierw przekształcić jej wzór do innej postaci. Dążymy do tego, aby dla $x_0=3$ mianownik nie był równy zero. W tym celu pomnożymy licznik i mianownik funkcji przez wyrażenie $2+\sqrt{x+1}$ . Otrzymamy wówczas

$f(x)=\frac{(x-3)(2+\sqrt{x+1})}{(2-\sqrt{x+1})(2+\sqrt{x+1})}.$

W mianowniku korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratówróżnica kwadratówróżnicę kwadratów

$f(x)=\frac{(x-3)(2+\sqrt{x+1})}{2^2-\sqrt{x+1}^2}=\frac{(x-3)(2+\sqrt{x+1})}{3-x}=-2-\sqrt{x+1}.$

Stąd nasza granica jest równa

$\lim\limits_{x\to3}\frac{x-3}{2-\sqrt{x+1}}=\lim\limits_{x\to3}(-2-\sqrt{x+1})=-2-\sqrt{3+1}=-4.$

Słownik

różnica kwadratów

$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$

postać iloczynowa funkcji kwadratowej

$f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$ , gdzie

$x_1=\frac{-b-\sqrt\Delta}{2a} \quad , \quad x_12=\frac{-b+\sqrt\Delta}{2a}$

Wprowadzenie

Galeria zdjęć interaktywnych

Czym są funkcje elementarne?

Jak obliczyć granicę funkcji w punkcie?

Słownik