Czym są funkcje elementarne?

Zanim przejdziemy do metod obliczania granic funkcji, dowiemy się, jakie funkcje zaliczamy do tzw. funkcji elementarnych.

Funkcje elementarne
Funkcje elementarne

Do funkcji elementarnych zaliczamy następujące funkcje

  • wielomiany (w szczególności funkcje liniowe i kwadratowe),

  • funkcje wymierne,

  • funkcje wykładnicze,

  • funkcje logarytmiczne,

  • funkcje trygonometryczne,

  • funkcje typu .

Ponadto funkcją elementarną jest suma, róznica, iloczyn, iloraz oraz złożenie dowolnych dwóch funkcji elementarnych.

Jak obliczyć granicę funkcji w punkcie?

Dla funkcji elementarnych prawdziwa jest następująca własność?

Granica funkcji elementarnej w punkcie
Własność: Granica funkcji elementarnej w punkcie

Jeżeli funkcja f:Df jest funkcją elementarną oraz , to funkcja posiada granicę w punkcie oraz

Przykład 1

Korzystając z powyższej własności, obliczymy poniższe granice.

Rozwiązanie

Ad 1.

Ad 2.

Ad 3.

Ad 4.

Powyższą własność możemy stosować jedynie w przypadku, gdy punkt w którym liczymy granicę należy do dziedziny funkcji elementarnej. Poniższe przykłady pokazują, w jaki sposób możemy próbować obliczyć granice pewnych typów funkcji w punktach nienależących do ich dziedziny.

Przykład 2

Obliczymy granicę

Rozwiązanie

Rozpoczniemy od wyznaczenia dziedziny funkcji . W tym celu wyznaczamy miejsca zerowe mianownika.

Stąd

Zatem . Punkt nie należy do dziedziny funkcji , więc nie możemy zastosować wcześniejszej własności. Aby obliczyć granicę funkcji uprościmy jej wzór. W tym celu zapisujemy licznik i mianownik w postaci iloczynowejpostać iloczynowa funkcji kwadratowejpostaci iloczynowej. Miejsca zerowe mianownika już policzyliśmy, policzmy zatem miejsca zerowe licznika.

Stąd

Wzór funkcji możemy więc zapisać następująco

dla Zatem

Przykład 3

Obliczymy granicę

Rozwiązanie

Na początek wyznaczymy dziedzinę funkcji . Pierwiastek kwadratowy możemy obliczyć tylko z liczb nieujemnych. Zatem musi być spełniony warunek . Ponadto nie możemy dzielić przez zero, czyli . Ostatecznie . Widzimy stąd, że w punkcie możemy obliczyć tylko granicę prawostronną. Ponieważ , więc nie możemy podstawić liczby do wzoru funkcji. Spróbujmy zatem ją uprościć. W tym celu zapiszemy licznik w postaci iloczynowejpostać iloczynowa funkcji kwadratowejpostaci iloczynowej. Ponieważ więc

Stąd otrzymujemy

Przykład 4

Obliczymy granicę

Rozwiązanie

Zaczniemy od wyznaczenia dziedziny funkcji . Mamy

Podsumowując: . Zatem, aby obliczyć granicę naszej funkcji w punkcie , musimy najpierw przekształcić jej wzór do innej postaci. Dążymy do tego, aby dla mianownik nie był równy zero. W tym celu pomnożymy licznik i mianownik funkcji przez wyrażenie . Otrzymamy wówczas

W mianowniku korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratówróżnica kwadratówróżnicę kwadratów

Stąd nasza granica jest równa

Słownik

różnica kwadratów
różnica kwadratów

postać iloczynowa funkcji kwadratowej
postać iloczynowa funkcji kwadratowej

, gdzie