Ilustracja pierwsza, Przykład pierwszy. Rozwiążemy równanie ${\left(x+1\right)}^2\left(3x-3\right)\left(1-x^2\right)=0$ i określimy krotność pierwiastków. Lewa strona równania jest iloczynem trzech czynników. Aby iloczyn równał się zero, co najmniej jeden z nich musi być równy zero., ${\left(x+1\right)}^2\left(3x-3\right)\left(1-x^2\right)=0$
Zatem możemy każdy z czynników przyrównać do zera, otrzymując w ten sposób trzy nowe równania: pierwsze: ${\left(x+1\right)}^2=0$, drugie $3x-3=0$, trzecie $1-x^2=0$. W ten sposób otrzymaliśmy trzy osobne równania.

Ilustracja druga. Przykład pierwszy. Rozwiążemy wszystkie trzy równania. Równanie pierwsze: ${\left(x+1\right)}^2=0$, więc $x=-1$ Liczba $\left(-1\right)$ jest podwójnym pierwiastkiem pierwszego równania. Równanie drugie: $3x-3=0$, wtedy $x=1$. Liczba $1$ jest pojedynczym pierwiastkiem drugiego równania. Równanie trzecie: $1-x^2=0$, wtedy $x=1$ lub $x=-1$.Liczby $\left(-1\right)$ i $1$ są pojedynczymi pierwiastkami trzeciego równania.

Ilustracja trzecia. Przykład pierwszy. Zatem rozwiązaniem równania są: $x=-1, x=1$. Liczba $\left(-1\right)$ jest potrójnym pierwiastkiem równania. Liczba $\left(-1\right)$ występuje tylko jako podwójne rozwiązanie pierwszego równania oraz pojedyncze rozwiązanie trzeciego równania., Liczba $1$ jest podwójnym pierwiastkiem równania. Liczba $1$ występuje jako pojedynczy pierwiastek drugiego równania i pojedynczy pierwiastek trzeciego równania.

Ilustracja czwarta. Przykład drugi. Rozwiążemy równanie: ${\left(x+1\right)}^3\left(x^3-8\right)\left(4-x^2\right)\left(4x^2-16x+16\right)=0$ i określimy krotność pierwiastków. Rozwiązanie. Lewa strona równania jest iloczynem czterech czynników. Aby iloczyn równał się zero, co najmniej jeden z nich musi być równy zero., ${\left(x+1\right)}^3\left(x^3-8\right)\left(4-x^2\right)\left(4x^2-16x+16\right)=0$. Mamy stąd cztery równania. Uzyskujemy je poprzez przyrównanie każdego z czynników do zera. Równanie pierwsze: ${\left(x+1\right)}^3=0$, lub równanie drugie: $\left(x^3-8\right)=0$, lub równanie trzecie: $\left(4-x^2\right)=0$, lub równanie czwarte: $\left(4x^2-16x+16\right)=0$., W ten sposób otrzymaliśmy cztery osobne równania.

Ilustracja piąta. Przykład drugi. Rozwiążemy cztery osobne równania. Równanie pierwsze: ${\left(x+1\right)}^3=0$, więc $x=-1$, Liczba $\left(-1\right)$ jest potrójnym pierwiastkiem pierwszego równania., lub równanie drugie: $\left(x^3-8\right)=0$, więc $x^3=8$, zatem ostatecznie otrzymujemy: $x=2$, Liczba $2$ pojedynczym pierwiastkiem drugiego równania., lub równanie trzecie: $\left(4-x^2\right)=0$, więc $x=-2$ lub $x=2$, Liczby $\left(-2\right)$ i $2$ są pojedynczymi pierwiastkami trzeciego równania., lub równanie czwarte: $\left(4x^2-16x+16\right)=0$, więc ${\left(2x-4\right)}^2=0$ i ostatecznie otrzymujemy: $x=2$, Liczba $2$ jest podwójnym pierwiastkiem czwartego równania.

Ilustracja szósta. Przykład drugi. Zatem rozwiązaniem równania są: $x=-2, x=-1, x=2$. Liczba $\left(-2\right)$ jest pojedynczym pierwiastkiem równania. Liczba $\left(-2\right)$ występuje tylko jako pojedyncze rozwiązanie trzeciego równania., Liczba $\left(-1\right)$ jest potrójnym pierwiastkiem równania. Liczba $\left(-1\right)$ występuje tylko jako potrójny rozwiązanie pierwszego równania., Liczba $3$ jest poczwórnym pierwiastkiem równania. Liczba $2$ występuje jako pojedynczy pierwiastek drugiego równania, pojedynczy pierwiastek trzeciego równania oraz podwójny pierwiastek czwartego równania.