Równaniem wielomianowym stopnia $n$, $n\in \mathrm{\mathbb{N}}$ nazywamy równanie, które można zapisać w postaci $W\left(x\right)=0$, gdzie $W\left(x\right)$ jest wielomianem stopnia $n$.

Pierwiastkiem wielomianu $W\left(x\right)$ nazywamy taką liczbę rzeczywistą $a$, dla której zachodzi warunek $W\left(a\right)=0$.

Liczba pierwiastków niezerowego wielomianu $W\left(x\right)$ jednej zmiennej jest nie większa niż stopień wielomianu $W\left(x\right)$.

Znajdziemy rozwiązanie równania $x\left(x+3\right)\left(x-4\right)=0$.

Lewa strona równania jest iloczynem trzech czynników. Iloczyn równa się zero jeżeli przynajmniej jeden z tych czynników jest równy zero.

Czyli otrzymujemy:

$x=0$ lub $x+3=0$ lub $x-4=0$.

$x=0$ lub $x=-3$ lub $x=4$

Równanie ma trzy rozwiązania $x=-3$, $x=0$, $x=4$.

Rozwiążemy równanie $x^3-5x^2+6x=0$.

Aby uzyskać postać iloczynową równaniapostać iloczynowa równaniapostać iloczynową równania wielomianowego trzeciego stopnia wyłączymy $x$ przed nawias.

$x\left(x^2-5x+6\right)=0$

$x=0$ lub $\left(x^2-5x+6\right)=0$

Ze wzorów Viete’a łatwo odgadniemy, że liczby $2$ i $3$ są rozwiązaniami drugiego równania.

Zatem równanie ma trzy rozwiązania $x=0$, $x=2$, $x=3$.

Rozwiążemy równanie $x\left(x+2\right){(x-1)}^2\left(x^2-4\right)=0$.

Lewa strona równania jest iloczynem czterech czynników. Iloczyn równa się zero jeżeli przynajmniej jeden z tych czynników jest równy zero.

Czyli otrzymujemy:

$x=0$ lub $x+2=0$ lub ${\left(x-1\right)}^2=0$ lub $x^2-4=0$.

$x=0$ lub $x=-2$ lub $x=1$ lub $x=1$ lub $x=-2$ lub $x=2$

Stąd wynika, że nasze równanie ma cztery rozwiązania:

$x=-2$ lub $x=0$ lub $x=1$ lub $x=2$,

przy czym liczba $-2$ jest pierwiastkiem podwójnym, liczba $1$ jest pierwiastkiem podwójnym, liczba $0$ jest pierwiastkiem pojedynczym, liczba $2$ jest pierwiastkiem pojedynczym.

Rozwiążemy równanie ${\left(x-4\right)}^2\left(x^3-27\right)\left(4-x^2\right)\left(x-3\right)=0$ i określimy krotność pierwiastków.

Lewa strona równania jest iloczynem czterech czynników. Jeżeli iloczyn ten równa się zero, to co najmniej jeden z czynników jest równy zero.

${\left(x-4\right)}^2=0$ lub $\left(x^3-27\right)=0$ lub $\left(4-x^2\right)=0$ lub $\left(x-3\right)=0$

Zatem: $x=4$ lub $x=4$ lub $x=3$ lub $x=-2$ lub $x=2$ lub $x=3$.

Stąd wynika, że nasze równanie ma cztery rozwiązania:

$x=-2$ lub $x=2$ lub $x=3$ lub $x=4$,

przy czym liczba $3$ jest pierwiastkiem podwójnym, liczba $4$ jest pierwiastkiem podwójnym, liczba $2$ jest pierwiastkiem pojedynczym, liczba $-2$ jest pierwiastkiem pojedynczym.

Rozwiążemy równanie $2·\left(x-1\right)=x\left(x-1\right)$.

Najpierw przeniesiemy wszystkie wyrażenia na jedną stronę równania.

$2·\left(x-1\right)-x\left(x-1\right)=0$

Zauważmy, że suma algebraiczna $\left(x-1\right)$ powtarza się w obydwu wyrażeniach algebraicznych.

Wyciągniemy wyrażenie $\left(x-1\right)$ przed nawias.

$\left(x-1\right)\left(2-x\right)=0$

W ten sposób otrzymaliśmy równanie zapisane w postaci iloczynowej. Dalej już łatwo rozwiążemy równanie, przyrównując każdy z czynników do zera.

$x-1=0$ lub $2-x=0$

$x=1$ lub $x=2$

Równanie ma dwa rozwiązania: $x=1$ lub $x=2$.

zapisanie równania za pomocą iloczynu czynników, w których niewiadoma jest jak najniższego  stopnia