Wróć do informacji o e-podręczniku Wydrukuj Pobierz materiał do PDF Pobierz materiał do EPUB Pobierz materiał do MOBI Zaloguj się, aby dodać do ulubionych Zaloguj się, aby skopiować i edytować materiał Zaloguj się, aby udostępnić materiał Zaloguj się, aby dodać całą stronę do teczki
Oceń projekt

Galeria zdjęć interaktywnych

Polecenie 1

Zapoznaj się z galerią zdjęć interaktywnych. Spróbuj najpierw samodzielnie rozwiązać przykłady, a następnie sprawdź  poprawność rozwiązania, analizując poszczególne zdjęcia.

RLD1jQbPA5HFN
Ilustracja pierwsza. Wyznaczymy równanie wartości parametru z, dla których równanie: z+1x4-4zx2+z+1=0 ma cztery rozwiązania. Zastosujemy podstawienie: x2=p, gdzie p≥0. Równanie sprowadzimy do równania kwadratowego ze zmienną p. Otrzymujemy równanie z+1p2-4zp+z+1=0
1

1. {audio}Równanie sprowadzimy do równania kwadratowego ze zmienną p.

R1c1eDyYHdGXV
Ilustracja druga. Aby równanie z+1x4-4zx2+z+1=0 miało 4 rozwiązania, równanie z+1p2-4zp+z+1=0 musi mieć dwa różne dodatnie rozwiązania. Aby równanie czwartego stopnia miało cztery rozwiązania równanie kwadratowe, które powstało przez podstawienie musi mieć dwa różne dodatnie pierwiastki., Zatem muszą być spełnione odpowiednie warunki. Aby równanie miało cztery rozwiązania musi zachodzić koniunkcja czterech warunków. Warunek otwarcie nawiasu klamrowego zawierającego cztery warunki: warunek pierwszy: a≠0, drugi warunek 2: Δ>0, trzeci warunek: p1·p2>0, czwarty warunek: p1+p2>0
1
2

1. {audio}Aby równanie czwartego stopnia miało cztery rozwiązania równanie kwadratowe, które powstało przez podstawienie musi mieć dwa różne dodatnie pierwiastki.

2. {audio}Aby równanie miało cztery rozwiązania musi zachodzić koniunkcja czterech warunków.

RyuYkM1NeXtsB
Ilustracja trzecia. Zajmiemy się rozwiązaniem pierwszego warunku: a≠0. Aby równanie z niewiadomą p było równaniem kwadratowym współczynnik przy niewiadomej p podniesionej do kwadratu musi być różny od zera. Poniżej zapisane są 3 następujące równania: z+1≠0, z≠-1 oraz z∈ℝ∖-1. Zatem z jest dowolną liczbą rzeczywistą różną od (-1).
1
2

1. {audio}Aby równanie z niewiadomą p było równaniem kwadratowym współczynnik przy niewiadomej p podniesionej do kwadratu musi być różny od zera.

2. {audio}z jest dowolną liczbą rzeczywistą różną od (-1).

Rtx1baOyuGrVX
Ilustracja czwarta. Wiedząc że wyróżnik trójmianu kwadratowego musi być większy od zera, aby równanie miało dwa różne rozwiązania, z drugiego warunku otrzymujemy: Δ=-4z2-4z+1z+1=16z2-4z2-8z-4=12z2-8z-4. Następnie podstawiając wzór do nierówności Δ>0 otrzymujemy nierówność: 12z2-8z-4>0. Następnie dzielimy obie strony nierówności przez cztery, otrzymując 3z2-2z-1>0. Obliczamy deltę: Δz=4+12=16, stąd 16=4. Otrzymujemy: z1=1 oraz z2=-13. Aby równanie kwadratowe miało dwa różne rozwiązania, musi należeć do poniższego zbioru: z∈-∞, -13∪1,∞.
1
2

1. {audio}Wyróżnik trójmianu kwadratowego musi być większy od zera, aby równanie miało dwa różne rozwiązania.

2. {audio}Aby równanie kwadratowe miało dwa różne rozwiązania z∈-∞, -13∪1,∞.

RIJr0Gv3AlUJ0
Ilustracja piąta. Teraz rozwiążemy trzeci warunek: p1·p2>0.Obliczamy: z+1z+1>0. Przy założeniu, że z≠-1 możemy skrócić licznik i mianownik ułamka. Dalej 1>0 oraz z∈ℝ∖-1. Trzeci warunek jest spełniony dla dowolnej liczby rzeczywistej różnej od -1.
1

1. {audio}Trzeci warunek jest spełniony dla dowolnej liczby rzeczywistej różnej od -1.

RSPL17bvuMefy
Ilustracja szósta. Z czwartego warunku: p1+p2>0 mamy: 4zz+1>0. Aby iloraz dwóch liczb był dodatni iloczyn tych liczb również musi być dodatni. Zatem: 4zz+1>0. Otrzymujemy: z=0 lub z=-0. Ostatecznie: z∈-∞,-1∪0,∞.
1

1. {audio}Aby iloraz dwóch liczb był dodatni, iloczyn tych liczb również musi być dodatni.

RTlIfOQezavbR
Ilustracja siódma. Uwzględniając rozwiązania warunków: 1, 2, 3, 4, otrzymujemy: z∈-∞,-1∪1,∞. Odpowiedź: Aby równanie z+1x4-4zx2+z+1=0 miało cztery rozwiązania, parametr z∈-∞,-1∪1,∞.Warunki zadania będą spełnione dla z∈-∞, -1∪1,∞.
1

1. {audio}Warunki zadania będą spełnione dla z∈-∞, -1∪1,∞.

Polecenie 2

Dla jakich wartości parametru m, równanie x4-mx2+m+4=0 ma cztery różne  rozwiązania?

Przeczytaj
Sprawdź się