Wróć do informacji o e-podręczniku Wydrukuj Zapisz jako PDF Udostępnij materiał
Równanie wielomianowe
Definicja: Równanie wielomianowe

Równaniem wielomianowym stopnia n, nN nazywamy równanie, które można zapisać w postaci Wx=0, gdzie Wx jest wielomianem stopnia n.

Pierwiastek wielomianu
Definicja: Pierwiastek wielomianu

Pierwiastkiem wielomianu Wx nazywamy taką liczbę rzeczywistą a, dla której zachodzi warunek Wa=0. Rozwiązaniem równania Wx=0 są wszystkie pierwiastki wielomianu Wx.

Liczba rozwiązań równania wielomianowego
Definicja: Liczba rozwiązań równania wielomianowego

Liczba pierwiastków niezerowego wielomianu Wx jednej zmiennej jest nie większa niż stopień wielomianu Wx.

Przykład 1

Wyznaczymy taką wartość parametru a, aby liczba -1 była pierwiastkiem równania x4+4a-2x3-x2-2x=0 . Dla ustalonej wartości parametru  a obliczymy pozostałe rozwiązania równania.
Ponieważ liczba -1 jest rozwiązaniem równania, więc zgodnie z definicją mamy:

-14+4a-2·-13--12-2-1=0

1-4a+2-1+2=0

4a=4

a=1

Dla parametru a=1 liczba -1 jest rozwiązaniem równania. Wtedy równanie przyjmuje postać x4+2x3-x2-2x=0.
Obliczymy teraz pozostałe rozwiązania tego równania. Wykorzystamy metodę grupowania wyrazów.

x3(x+2)x(x+2)=0

(x+2)(x3x)=0

x+2x2-1·x=0

x+2=0 lub x-1=0 lub x+1=0  lub x=0

x=-2 lub x=1 lub x=-1 lub x=0

Równanie ma cztery rozwiązaniarozwiązanie równania Wx=0rozwiązaniax=-2, x=-1, x=0, x=1.

Przykład 2

Liczby -1 i 3 są rozwiązaniami równania x3-a+2x2+bx+15=0. Obliczymy wartości współczynników ab. Ponieważ liczby -1 i 3 są rozwiązaniami równania więc możemy zapisać zależności:

-13-a+2-12+b-1+15=033-a+2·32+3b+15=0

-1-a-2-b+15=027-9a-18+3b+15=0

-a-b=-12-9a+3b=-24

a+b=12-3a+b=-8

Rozwiązując układ równań metodą przeciwnych współczynników otrzymujemy:

4a=20
a=5

5+b=12

b=7

Szukane współczynniki to a=5 i b=7.

Przykład 3

Wyznaczymy wartości parametrów n i k wiedząc, że równanie 8x3+3nx2+6k2x+8=0 ma trzykrotny pierwiastek. Obliczymy ten pierwiastekpierwiastek wielomianu Wxpierwiastek.
Jeżeli p jest trzykrotnym pierwiastkiem równania, to ponieważ równanie jest trzeciego stopnia, możemy równanie zapisać w postaci 8x-p3=0. Następnie zastosujemy  wzór skróconego mnożenia na sześcian różnicy dwóch wyrażeń.

8x3-3x2p+3xp2-p3=0

8x324px2+24p2x8p3=0

Porównując współczynniki równania otrzymujemy:

3n=-24p6k2=24p28=-8p3

Z ostatniego równania otrzymujemy p=-1.

3n=24

n=8

6k2=24

k2=4

k=2 lub k=-2

Trzykrotny pierwiastek równania to p=1, natomiast n=8, k=-2 lub k=2.

Przykład 4

Wyznaczymy takie wartości parametru k, dla których jedno z rozwiązań równania 4x3+k-3x2-x=0 jest średnią arytmetyczną pozostałych rozwiązań równania.
Najpierw wyłączymy przed nawias wspólny czynnik.

x4x2+k-3x-1=0

x=0 lub 4x2+k-3x-1=0

4x2+k-3x-1=0

=k-32+16>0 dla dowolnego k, zatem równanie ma dwa rozwiązania x1x2.

Ze wzorów Viete’a otrzymamy:

x1·x2=-14<0,

czyli rozwiązania równania mają różne znaki.

Zatem musi zachodzić warunek x1+x22=0.

Ze wzoru na sumę pierwiastków otrzymujemy:

x1+x2=(k3)4

(k3)8=0

k-3=0

k=3.

Aby rozwiązania równania spełniały warunek parametr k=3.

Przykład 5

Obliczymy, dla jakich wartości współczynnika z równanie x44z2x2+2z=0 ma 4 rozwiązania.

x44z2x2+2z=0

(x22z)(x2+2z)(x22z)=0

Wyłączymy przed nawias wyrażenie x2-2z.

(x22z)(x2+2z1)=0

x2-2z=0 lub x2+2z1=0

x2=2z lub x2=-2z+1

Aby równanie x2=2z miało dwa rozwiązania 2z>0.

z>0

Równanie x2=-2z+1 będzie miało dwa rozwiązania dla -2z+1>0.

-2z>-1

z<12

Uwzględniając oba warunki z0,12. Aby równanie miało 4 rozwiązania z0,12.

Słownik

rozwiązanie równania Wx=0
rozwiązanie równania Wx=0

wszystkie pierwiastki wielomianu Wx

pierwiastek wielomianu Wx
pierwiastek wielomianu Wx

liczba rzeczywista a, dla której zachodzi warunek Wa=0