Przeczytaj
Równaniem wielomianowym stopnia nazywamy równanie, które można zapisać w postaci , gdzie jest wielomianem stopnia .
Pierwiastkiem wielomianu nazywamy taką liczbę rzeczywistą , dla której zachodzi warunek . Rozwiązaniem równania są wszystkie pierwiastki wielomianu .
Liczba pierwiastków niezerowego wielomianu jednej zmiennej jest nie większa niż stopień wielomianu .
Wyznaczymy taką wartość parametru , aby liczba była pierwiastkiem równania . Dla ustalonej wartości parametru obliczymy pozostałe rozwiązania równania.
Ponieważ liczba jest rozwiązaniem równania, więc zgodnie z definicją mamy:
Dla parametru liczba jest rozwiązaniem równania. Wtedy równanie przyjmuje postać .
Obliczymy teraz pozostałe rozwiązania tego równania. Wykorzystamy metodę grupowania wyrazów.
lub lub lub
lub lub lub
Równanie ma cztery rozwiązaniarozwiązania: , , , .
Liczby i są rozwiązaniami równania . Obliczymy wartości współczynników i . Ponieważ liczby i są rozwiązaniami równania więc możemy zapisać zależności:
Rozwiązując układ równań metodą przeciwnych współczynników otrzymujemy:
Szukane współczynniki to i .
Wyznaczymy wartości parametrów i wiedząc, że równanie ma trzykrotny pierwiastek. Obliczymy ten pierwiastekpierwiastek.
Jeżeli jest trzykrotnym pierwiastkiem równania, to ponieważ równanie jest trzeciego stopnia, możemy równanie zapisać w postaci . Następnie zastosujemy wzór skróconego mnożenia na sześcian różnicy dwóch wyrażeń.
Porównując współczynniki równania otrzymujemy:
Z ostatniego równania otrzymujemy .
lub
Trzykrotny pierwiastek równania to , natomiast , lub .
Wyznaczymy takie wartości parametru , dla których jedno z rozwiązań równania jest średnią arytmetyczną pozostałych rozwiązań równania.
Najpierw wyłączymy przed nawias wspólny czynnik.
lub
dla dowolnego , zatem równanie ma dwa rozwiązania i .
Ze wzorów Viete’a otrzymamy:
,
czyli rozwiązania równania mają różne znaki.
Zatem musi zachodzić warunek .
Ze wzoru na sumę pierwiastków otrzymujemy:
.
Aby rozwiązania równania spełniały warunek parametr .
Obliczymy, dla jakich wartości współczynnika równanie ma rozwiązania.
Wyłączymy przed nawias wyrażenie .
lub
lub
Aby równanie miało dwa rozwiązania .
Równanie będzie miało dwa rozwiązania dla .
Uwzględniając oba warunki . Aby równanie miało rozwiązania .
Słownik
wszystkie pierwiastki wielomianu
liczba rzeczywista , dla której zachodzi warunek