Ilustracja pierwsza. Rozwiążemy równanie postaci $\frac{x}{x^3+1}-\frac{2}{x^2-1}=\frac{1}{x^2-x+1}$. Przeanalizujemy sposób rozwiązania podanego równania wymiernego.

Ilustracja druga. Zapiszemy mianownik ułamka algebraicznego w postaci iloczynowej wykorzystując, wzory skróconego mnożenia i przyrównamy równanie do zera. Nasze równanie przyjmie zatem następującą postać: $\frac{x}{\left(x+1\right)\left(x^2-x+1\right)}-\frac{2}{\left(x-1\right){\displaystyle \left(x+1\right)}}-\frac{1}{x^2-x+1}=0$.

Ilustracja trzecia. Ustalimy dziedzinę równania wymiernego. Mianownik każdego ułamka algebraicznego musi być różny od zera. Mamy więc $x\ne -1\wedge x\ne 1\wedge x^2-x+1\ne 0, \left(\Delta <0\right)$. Zatem ostatecznie dziedzina naszego równania to zbiór $D=\mathrm{ℝ}\setminus \{-1;1\}$.

Ilustracja czwarta. Sprowadzimy ułamki do najmniejszego wspólnego mianownika. $\frac{x\left(x-1\right)-2\left(x^2-x+1\right)-\left(x-1\right)\left(x+1\right)}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(x^2-x+1\right)}=0$ Po wymnożeniu wyrazów w liczniku, otrzymujemy następującą postać równania: $\frac{x^2-x-2x^2+2x-2-x^2+1}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(x^2-x+1\right)}=0$. Po zredukowaniu wyrazów podobnych w liczniku, otrzymujemy $\frac{-2x^2+x-1}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(x^2-x+1\right)}=0$. Ułamek równa się zero, jeżeli jego licznik jest równy zero.

Ilustracja piąta. Przyrównujemy licznik do zera. $-2x^2+x-1=0$ Sprawdźmy, ile wynosi wyróżnik trójmianiu kwadratowego. $\Delta =1-8=-7<0$ Zatem równanie nie przyjmuje wartości 0. Odpowiedź: Równanie jest sprzeczne. Nie posiada rzeczywistych rozwiązań.