Przeczytaj

równanie wymierne

Definicja: równanie wymierne

Jeżeli $W (x)$ i $P (x)$ są wielomianami, $P (x)$ nie jest wielomianem zerowym $(P (x) \neq 0)$ , to równanie $\frac{W (x)}{P (x)} = 0$ nazywamy równaniem wymiernym z jedną niewiadomą $x$ .

Rozwiązać równanie to znaleźć takie pierwiastki wielomianu $W (x)$ , które nie są miejscami zerowymi wielomianu $P (x)$ .

Przed przystąpieniem do rozwiązania równania wymiernego, należy określić jego dziedzinę.

Dziedziną równia wymiernego jest zbiór liczb rzeczywistych pomniejszony o zbiór pierwiastków wielomianu $P (x)$ .

Równanie sprzeczne jest to równanie, które nie posiada rozwiązań w zbiorze liczb rzeczywistych.

Równanie tożsamościowe jest to równanie, którego rozwiązaniem jest każda liczba rzeczywista należąca do dziedziny równania. Równanie nieoznaczone posiada nieskończenie wiele rozwiązań.

Pokażemy przykłady rozwiązań równań wymiernych sprzecznych i nieoznaczonychrównanie nieoznaczonenieoznaczonych.

Przykład 1

Rozwiążemy równanie $\frac{x^{2} - 64}{x + 8} = \frac{2 x - 16}{2}$ .

Ustalimy najpierw dziedzinę równania.

$x + 8 \neq 0$

$x \neq (- 8)$

$D = ℝ ∖ \{- 8\}$

Korzystając z własności proporcji, otrzymujemy:

$2 (x^{2} - 64) = (x + 8) (2 x - 16)$

$2 (x^{2} - 64) = 2 (x^{2} - 64)$

$0 = 0$

Otrzymaliśmy równanie tożsamościowe. Rozwiązaniem równania są liczby $x \in ℝ ∖ \{- 8\}$ .

Przykład 2

Wykażemy, że równanie $\frac{x^{2} - 6 x + 9}{x - 3} = 0$ jest sprzeczne.

Wyznaczymy najpierw dziedzinę równania.

$x - 3 \neq 0$

$x \neq 3$

$D = ℝ ∖ \{3\}$

Przyrównujemy licznik ułamka algebraicznego do zera.

$x^{2} - 6 x + 9 = 0$

Korzystając ze wzoru skróconego mnożenia otrzymujemy:

${(x - 3)}^{2} = 0$

$x = 3$

Ale $3 \neq D$ , zatem równanie jest sprzecznerównanie sprzecznerównanie jest sprzeczne.

Przykład 3

Obliczymy, dla jakich wartości parametru $m$ równanie $\frac{2 \cdot {(2 x)}^{4} \cdot x^{8}}{32 \cdot x^{2 m}} = 1$ jest tożsamościowe.

Dziedziną równania jest $ℝ ∖ \{0\}$ .

Zapiszemy równanie w postaci równoważnej.

$\frac{32 \cdot x^{4} \cdot x^{8}}{32 \cdot x^{2 m}} = 1$

$\frac{x^{12}}{x^{2 m}} = 1$

$x^{12 - 2 m} = x^{0}$

$12 - 2 m = 0$

$- 2 m = (- 12)$

$m = 6$

Dla $m = 6$ równanie jest tożsamościowe.

Przykład 4

Obliczymy, dla jakiej wartości parametru $p$ równanie $\frac{x + 2}{x - p} = 4$ jest sprzeczne.

Dziedziną równania jest zbiór $D = ℝ ∖ \{p\}$ .

Mnożymy obie strony równania przez $(x - p)$ .

$x + 2 = 4 (x - p)$

$x + 2 = 4 x - 4 p$

$- 3 x = - 4 p - 2$

$x = \frac{- 4 p - 2}{- 3}$

$x = \frac{4 p + 2}{3}$

Uwzględniając dziedzinę równania mamy $\frac{4 p + 2}{3} \neq p$ .

$4 p + 2 \neq 3 p$

$p \neq (- 2)$

Sprawdzimy, co się stanie jak $p = (- 2)$ podstawimy do równania.

$\frac{x + 2}{x - (- 2)} = 4$

$\frac{x + 2}{x + 2} = 4$

$1 = 4$

Jest to równanie sprzeczne.

Dla $p = (- 2)$ równanie jest sprzeczne.

Przykład 5

Rozwiążemy równanie $\frac{x + 1}{x + 2} - \frac{x - 3}{x + 4} = 2$ .

Ustalimy najpierw dziedzinę równania.

$x + 2 \neq 0$ i $x + 4 \neq 0$

$x \neq (- 2)$ i $x \neq (- 4)$

$D : ℝ ∖ \{- 4, - 2\}$

Sprowadzimy lewą stronę równania do wspólnego mianownika.

$\frac{(x + 1) (x + 4) - (x - 3) (x + 2)}{(x + 2) (x + 4)} = 2$

Przekształcimy równoważnie równanie.

$\frac{x^{2} + 4 x + x + 4 - x^{2} - 2 x + 3 x + 6}{x^{2} + 4 x + 2 x + 8} = 2$

$\frac{6 x + 10}{x^{2} + 6 x + 8} = \frac{2}{1}$

Korzystając z własności proporcji otrzymujemy:

$6 x + 10 = 2 (x^{2} + 6 x + 8)$

$6 x + 10 = 2 x^{2} + 12 x + 16$

$2 x^{2} + 6 x + 6 = 0$

$x^{2} + 3 x + 3 = 0$

$Δ = 9 - 12 = - 3 < 0$

Równanie jest sprzeczne. Nie posiada rozwiązań.

Słownik

równanie sprzeczne

równanie, które nie posiada rozwiązań w zbiorze liczb rzeczywistych

równanie nieoznaczone

równanie, które ma nieskończenie wiele rozwiazań

Wprowadzenie

Galeria zdjęć interaktywnych

Słownik