Ilustracja pierwsza, przykład pierwszy. Treść zadania: Uzasadnimy, że liczba $K={126}^6-2^6$ jest podzielna przez dwadzieścia pięć. Rozwiązanie. Zapisujemy wyrażenie ${127}^6-2^6$ w postaci iloczynu, korzystając ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę sześcianów. $K={127}^6-2^6={\left({127}^2\right)}^3-{\left(2^2\right)}^3$ Po przekształceniu mamy: $K=\left({127}^2-2^2\right)·\left({127}^4+{127}^2·2^2+2^4\right)$

Ilustracja druga, przykład pierwszy. Wyrażenie ${127}^2-2^2$ to różnica kwadratów, możemy więc zapisać to wyrażenie w postaci iloczynu, czyli $K=\left(127-2\right)·\left(127+2\right)·\left({127}^4+{127}^2·2^2+2^4\right)$

Ilustracja trzecia, przykład pierwszy. Po kolejnym przekształceniu równia, otrzymujemy: $K=125·129·\left({127}^4+{254}^2+2^4\right)$, co możemy zapisać równoważnie: $K=25·5·129·\left({127}^4+{254}^2+2^4\right)$ Odpowiedź: Liczba $K$ jest iloczynem liczby $25$ i liczby naturalnej dodatniej. Jest więc podzielna przez $25$, co należało udowodnić.

Ilustracja czwarta, przykład drugi. Treść zadania: Usuniemy niewymierność z mianownika ułamka $U=\frac{1}{2\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{4}}$. Rozwiązanie: W mianowniku ułamka chcemy otrzymać sumę dwóch liczb wymiernych. Rozszerzamy ułamek tak, by skorzystać ze wzoru na sumę sześcianów. $U=\frac{1}{2\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{4}}=\frac{1}{2\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{4}}·\frac{4\sqrt[3]{4}-2\sqrt[3]{2}·\sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{16}}{4\sqrt[3]{4}-2\sqrt[3]{2}·\sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{16}}$

Ilustracja piąta, przykład drugi. Upraszczamy ułamek do postaci: $U=\frac{4\sqrt[3]{4}-4+2\sqrt[3]{2}}{{\left(2\sqrt[3]{2}\right)}^3·{\left(\sqrt[3]{4}\right)}^3}=\frac{4\sqrt[3]{4}-4+2\sqrt[3]{2}}{20}$

Ilustracja szósta, przykład drugi. Skracamy przez $2$ i otrzymujemy ostateczną postać ułamka. $U=\frac{2\sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{2}-2}{10}$