Ilustracja pierwsza, przykład pierwszy. Treść zadania: Uzasadnimy, że liczba K, równa się, sto dwadzieścia sześć indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, minus, dwa indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego jest podzielna przez dwadzieścia pięć. Rozwiązanie. Zapisujemy wyrażenie sto dwadzieścia siedem indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, minus, dwa indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego w postaci iloczynu, korzystając ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę sześcianów. K, równa się, sto dwadzieścia siedem indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, minus, dwa indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, równa się, nawias, sto dwadzieścia siedem indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, zamknięcie nawiasu, indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, minus, nawias, dwa indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, zamknięcie nawiasu, indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego Po przekształceniu mamy: K, równa się, nawias, sto dwadzieścia siedem indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, dwa indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, zamknięcie nawiasu, razy, nawias, sto dwadzieścia siedem indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, plus, sto dwadzieścia siedem indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, razy, dwa indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, dwa indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, zamknięcie nawiasu

Ilustracja druga, przykład pierwszy. Wyrażenie sto dwadzieścia siedem indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, dwa indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego to różnica kwadratów, możemy więc zapisać to wyrażenie w postaci iloczynu, czyli K, równa się, nawias, sto dwadzieścia siedem, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, razy, nawias, sto dwadzieścia siedem, plus, dwa, zamknięcie nawiasu, razy, nawias, sto dwadzieścia siedem indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, plus, sto dwadzieścia siedem indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, razy, dwa indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, dwa indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, zamknięcie nawiasu

Ilustracja trzecia, przykład pierwszy. Po kolejnym przekształceniu równia, otrzymujemy: K, równa się, sto dwadzieścia pięć, razy, sto dwadzieścia dziewięć, razy, nawias, sto dwadzieścia siedem indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, plus, dwieście pięćdziesiąt cztery indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, dwa indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, zamknięcie nawiasu, co możemy zapisać równoważnie: K, równa się, dwadzieścia pięć, razy, pięć, razy, sto dwadzieścia dziewięć, razy, nawias, sto dwadzieścia siedem indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, plus, dwieście pięćdziesiąt cztery indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, dwa indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, zamknięcie nawiasu Odpowiedź: Liczba K jest iloczynem liczby dwadzieścia pięć i liczby naturalnej dodatniej. Jest więc podzielna przez dwadzieścia pięć, co należało udowodnić.

Ilustracja czwarta, przykład drugi. Treść zadania: Usuniemy niewymierność z mianownika ułamka U, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa pierwiastek sześcienny z dwa koniec pierwiastka, plus, pierwiastek sześcienny z cztery koniec pierwiastka, koniec ułamka. Rozwiązanie: W mianowniku ułamka chcemy otrzymać sumę dwóch liczb wymiernych. Rozszerzamy ułamek tak, by skorzystać ze wzoru na sumę sześcianów. U, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa pierwiastek sześcienny z dwa koniec pierwiastka, plus, pierwiastek sześcienny z cztery koniec pierwiastka, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa pierwiastek sześcienny z dwa koniec pierwiastka, plus, pierwiastek sześcienny z cztery koniec pierwiastka, koniec ułamka, razy, początek ułamka, cztery pierwiastek sześcienny z cztery koniec pierwiastka, minus, dwa pierwiastek sześcienny z dwa koniec pierwiastka, razy, pierwiastek sześcienny z cztery koniec pierwiastka, plus, pierwiastek sześcienny z szesnaście koniec pierwiastka, mianownik, cztery pierwiastek sześcienny z cztery koniec pierwiastka, minus, dwa pierwiastek sześcienny z dwa koniec pierwiastka, razy, pierwiastek sześcienny z cztery koniec pierwiastka, plus, pierwiastek sześcienny z szesnaście koniec pierwiastka, koniec ułamka

Ilustracja piąta, przykład drugi. Upraszczamy ułamek do postaci: U, równa się, początek ułamka, cztery pierwiastek sześcienny z cztery koniec pierwiastka, minus, cztery, plus, dwa pierwiastek sześcienny z dwa koniec pierwiastka, mianownik, nawias, dwa pierwiastek sześcienny z dwa koniec pierwiastka, zamknięcie nawiasu, indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, razy, nawias, pierwiastek sześcienny z cztery koniec pierwiastka, zamknięcie nawiasu, indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, cztery pierwiastek sześcienny z cztery koniec pierwiastka, minus, cztery, plus, dwa pierwiastek sześcienny z dwa koniec pierwiastka, mianownik, dwadzieścia, koniec ułamka

Ilustracja szósta, przykład drugi. Skracamy przez dwa i otrzymujemy ostateczną postać ułamka. U, równa się, początek ułamka, dwa pierwiastek sześcienny z cztery koniec pierwiastka, plus, pierwiastek sześcienny z dwa koniec pierwiastka, minus, dwa, mianownik, dziesięć, koniec ułamka