Przeczytaj

Pokażemy teraz kilka zastosowań wzorów skróconego mnożenia na sumę sześcianów dwóch wyrażeń oraz na różnicę sześcianów dwóch wyrażeń. Przypomnijmy najpierw te wzory.

Wzór skróconego mnożenia na sumę sześcianów dwóch wyrażeń

a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})

Suma sześcianów dwóch wyrażeń jest równa iloczynowi sumy tych wyrażeń przez sumę kwadratów tych wyrażeń pomniejszoną o iloczyn tych wyrażeń.

Wzór skróconego mnożenia na różnicę sześcianów dwóch wyrażeń

a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})

Różnica sześcianów dwóch wyrażeń jest równa iloczynowi różnicy tych wyrażeń przez sumę kwadratów tych wyrażeń powiększoną o iloczyn tych wyrażeń.

Obliczenia arytmetyczne

Nie dysponując kalkulatorem czy innym urządzeniem, który pomoże nam w podniesieniu do potęgi $3$ dodawanych bądź odejmowanych liczb, można zamienić sumy (różnice) na iloczyny, zawierające co najwyżej kwadraty danych liczb, których wartości często znamy na pamięć.

Przykład 1

Aby obliczyć $13^{3} + 7^{3}$ wykorzystamy wzór na sumę sześcianów.

13^{3} + 7^{3} = (13 + 7) (13^{2} - 13 \cdot 7 + 7^{2}) =

= 20 \cdot (169 - 91 + 49) = 20 \cdot 127 = 2540

Przykład 2

W podobny sposób jak w przykładzie $1$ , ale wykorzystując wzór na różnicę sześcianów, obliczymy $15^{3} - 5^{3}$ .

15^{3} - 5^{3} = (15 - 5) (15^{2} + 15 \cdot 5 + 5^{2}) =

= 10 \cdot (225 + 75 + 25) = 10 \cdot 325 = 3250

Przykład 3

Obliczymy wartość wyrażenia $W = 14^{4} + 12^{3} + 6^{3} - 2^{3}$ .

Rozwiązanie:

Zauważmy najpierw, że dodając $14$ i $6$ otrzymamy „pełną” dziesiątkę: $14 + 6 = 20$ .

Podobnie, odejmując $12$ i $2$ otrzymamy „pełną” dziesiątkę: $12 - 2 = 10$ .

Zatem wykonując obliczenia, wygodnie będzie pogrupować odpowiednio składniki i dopiero zastosować odpowiednie wzory skróconego mnożenia.

W = 14^{4} + 12^{3} + 6^{3} - 2^{3}

W = (14^{3} + 6^{3}) + (12^{3} - 2^{3})

Obliczymy wartość wyrażenia z pierwszego nawiasu, stosując wzór na sumę sześcianów.

14^{3} + 6^{3} = (14 + 6) (14^{2} - 14 \cdot 6 + 6^{2}) = 20 \cdot 148 = 2960

Obliczamy wartość wyrażenia z drugiego nawiasu, stosując wzór na różnicę sześcianów.

12^{3} - 2^{3} = (12 - 2) (12^{2} + 12 \cdot 2 + 2^{2}) = 10 \cdot 172 = 1720

Stąd:

W = 2960 + 1720 = 4680

Odpowiedź:

Wartość wyrażenia jest równa $4680$ .

Przykład 4

Stosując poznany wzór skróconego mnożenia, usuniemy niewymierność z mianownika ułamka $A = \frac{2}{\sqrt[3]{2} - 1}$ .

Rozszerzamy ułamek przez $\sqrt[3]{4} + \sqrt[3]{2} + 1$ , aby zastosować wzór skróconego mnożenia na różnicę sześcianów.

A = \frac{2}{\sqrt[3]{2} - 1} = \frac{2}{\sqrt[3]{2} - 1} \cdot \frac{(\sqrt[3]{4} + \sqrt[3]{2} + 1)}{\sqrt[3]{4} + \sqrt[3]{2} + 1}

Wykonujemy wskazane działania.

A = \frac{2 \cdot (\sqrt[3]{4} + \sqrt[3]{2} + 1)}{{(\sqrt[3]{2})}^{3} - 1^{3}} = \frac{2 \sqrt[3]{4} + 2 \sqrt[3]{2} + 2}{2 - 1}

A = 2 \sqrt[3]{4} + 2 \sqrt[3]{2} + 2

Przykład 5

Wykażemy, że liczba $M = \frac{2 - \sqrt[3]{3}}{4 - 2 \sqrt[3]{3} + \sqrt[3]{9}} + \frac{\sqrt[3]{9}}{11}$ jest liczbą wymierną.

Rozwiązanie:

Zauważmy, że w mianowniku pierwszego ułamka znajduje się niepełny kwadrat wyrażenia $2 - \sqrt[3]{3}$ .

Zatem chcąc usunąć niewymierność z mianownika tego ułamka, należy pomnożyć licznik i mianownik przez $2 + \sqrt[3]{3}$ i zastosować w mianowniku wzór skróconego mnożenia na sumę sześcianów, a w liczniku wzór na różnicę kwadratów.

\frac{2 - \sqrt[3]{3}}{4 - 2 \sqrt[3]{3} + \sqrt[3]{9}} = \frac{2 - \sqrt[3]{3}}{4 - 2 \sqrt[3]{3} + \sqrt[3]{9}} \cdot \frac{2 + \sqrt[3]{3}}{2 + \sqrt[3]{3}} = \frac{2^{2} - {(\sqrt[3]{3})}^{2}}{2^{3} + {(\sqrt[3]{3})}^{3}} = \frac{4 - \sqrt[3]{9}}{11}

Stąd:

M = \frac{4 - \sqrt[3]{9}}{11} + \frac{\sqrt[3]{9}}{11} = \frac{4}{11}

Liczba $M$ jest wymierna, gdyż można ją zapisać w postaci ilorazu liczb całkowitych $4$ i $11$ .

Przekształcenia algebraiczne

Wzory na sumę sześcianówsumę sześcianów oraz różnicę sześcianówróżnicę sześcianów zastosujemy teraz do zapisu sum algebraicznych w postaci iloczynów, czyli do rozkładu sum na czynniki.

Przykład 6

Rozwiążemy równanie $\frac{x^{3} - 64}{x - 4} = 13$ dla $x \neq 4$ .

Rozwiązanie:

\frac{x^{3} - 64}{x - 4} = 13

Rozkładamy na czynniki licznik ułamka znajdującego się po lewej stronie zapisanej równości i skracamy ułamek.

\frac{(x - 4) (x^{2} + 4 x + 16)}{x - 4} = 13

x^{2} + 4 x + 16 = 13

Rozwiązujemy otrzymane równanie kwadratowe.

x^{2} + 4 x + 16 - 13 = 0

x^{2} + 4 x + 3 = 0

Δ = 16 - 12 = 4 > 0

x_{1} = \frac{- 4 - 2}{2} = - 3

x_{2} = \frac{- 4 + 2}{2} = - 1

Oba uzyskane pierwiastki są różne od $4$ , zatem równanie ma dwa rozwiązania: $(- 3)$ i $(- 1)$ .

Przykład 7

Wykażemy, że suma sześcianów $3$ kolejnych liczb naturalnych dodatnich, jest podzielna przez $3$ .

Rozwiązanie:

Oznaczmy:

$n - 1$ , $n$ , $n + 1$ – kolejne liczby naturalne, gdy $n \geq 2$ .

Wtedy:

$S = {(n - 1)}^{3} + n^{3} + {(n + 1)}^{3}$ – suma sześcianów kolejnych liczb naturalnych.

Przekształcamy otrzymaną sumę, korzystając ze wzoru na sumę sześcianów.

S = {(n - 1)}^{3} + n^{3} + {(n + 1)}^{3} = [{(n - 1)}^{3} + {(n + 1)}^{3}] + n^{3}

S = [(n - 1 + n + 1) (n^{2} - 2 n + 1 + n^{2} + 2 n + 1 - n^{2} + 1)] + n^{3}

S = 2 n \cdot (n^{2} + 3) + n^{3}

Wykonujemy mnożenie i wyłączamy wspólny czynnik poza nawias.

S = 2 n^{3} + 6 n + n^{3}

S = 3 \cdot (n^{3} + 2 n)

Otrzymane wyrażenie jest iloczynem liczby $3$ i sumy liczb naturalnych, zatem liczba $S$ jest podzielna przez $3$ , co należało wykazać.

Słownik

wzór skróconego mnożenia na sumę sześcianów

suma sześcianów dwóch wyrażeń jest równa iloczynowi sumy tych wyrażeń przez sumę kwadratów tych wyrażeń pomniejszoną o iloczyn tych wyrażeń

wzór skróconego mnożenia na różnicę sześcianów

różnica sześcianów dwóch wyrażeń jest równa iloczynowi różnicy tych wyrażeń przez sumę kwadratów tych wyrażeń powiększoną o iloczyn tych wyrażeń

Wprowadzenie

Galeria zdjęć interaktywnych

Obliczenia arytmetyczne

Przekształcenia algebraiczne

Słownik