Ilustracja pierwsza przedstawia pierwszą ćwiartkę układu współrzędnych, w której narysowano wykres funkcji f będący kawałkiem krzywej, która została ograniczona dwoma zamalowanymi punktami. Na osiach zarówno pionowej i poziomej zaznaczono punkty i połączono je liniami przerywanymi z wykresem funkcji f. Aby udowodnić, że funkcja f jest ciągła wybieramy punkt x indeks dolny, zero, koniec indeksu dolnego z dziedziny funkcji f. Jeden z punktów na osi x podpisujemy x indeks dolny, zero, koniec indeksu dolnego, odpowiadający jej punkt na osi y podpisujemy f nawias, x indeks dolny, zero, koniec indeksu dolnego, zamknięcie nawiasu. Następnie bierzemy ciąg argumentów nawias, x indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, zamknięcie nawiasu, który zbiega do argumentu x indeks dolny, zero, koniec indeksu dolnego. Pozostałe punkty na osi x oznaczamy x indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, a na osi y oznaczamy f nawias, x indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, zamknięcie nawiasu. Zauważamy, że ciąg wartości nawias, f nawias, x indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, zamknięcie nawiasu, zamknięcie nawiasu dąży do wartości f nawias, x indeks dolny, zero, koniec indeksu dolnego, zamknięcie nawiasu, co za tym idzie funkcja f jest ciągła w punkcie x indeks dolny, zero, koniec indeksu dolnego.Podobna argumentacja jest prawdziwa dla każdego punktu z dziedziny funkcji f. Funkcja f jest zatem ciągła w każdym punkcie swojej dziedziny, a więc jest ciągła.

Ilustracja druga przedstawia pierwszą ćwiartkę układu współrzędnych, w której narysowano wykres funkcji f składający się z dwóch elementów. Pierwszy jest kawałkiem krzywej o lewym końcu w zamalowanym punkcie oraz ograniczonym z prawej strony niezmalowanym punktem. Drugi element wykresu to łuk wybrzuszony ku górze, którego końce znajdują się w zamalowanych punktach. Aby udowodnić, że funkcja f nie jest ciągła pokażemy, że nie jest ona ciągła w punkcie x indeks dolny, zero, koniec indeksu dolnego. Bierzemy ciąg nawias, x indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, zamknięcie nawiasu zbieżny do punktu x indeks dolny, zero, koniec indeksu dolnego z lewej strony. Punkt będący początkiem drugiego fragmentu wykresu na osi x oznaczono x indeks dolny, zero, koniec indeksu dolnego, a na osi y oznaczono f nawias, x indeks dolny, zero, koniec indeksu dolnego, zamknięcie nawiasu. Z kolei punkty o współrzędnych nawias x indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego średnik f nawias, x indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, zamknięcie nawiasu należą do pierwszego fragmentu wykresu. Mimo tego, że ciąg nawias, x indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, zamknięcie nawiasu dążył do x indeks dolny, zero, koniec indeksu dolnego, ciąg wartości nawias, f nawias, x indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, zamknięcie nawiasu, zamknięcie nawiasu nie zbiega do f nawias, x indeks dolny, zero, koniec indeksu dolnego, zamknięcie nawiasu, a więc funkcja f nie jest ciągła w punkcie x indeks dolny, zero, koniec indeksu dolnego. Ponieważ funkcja f nie jest ciągła w punkcie x indeks dolny, zero, koniec indeksu dolnego, jest nieciągła. Zauważmy, że biorąc ciąg argumentów zbieżny z prawej strony do x indeks dolny, zero, koniec indeksu dolnego otrzymamy, że odpowiadający mu ciąg wartości dąży do f nawias, x indeks dolny, zero, koniec indeksu dolnego, zamknięcie nawiasu. Ten typ nieciągłości funkcji nazywa się „skokiem”.

Ilustracja trzecia przedstawia pierwszą ćwiartkę układu współrzędnych, w której narysowano wykres funkcji f składający się z zamalowanego punktu oraz z fragmentu krzywej w kształcie poziomo ustawionej litery S zawartej między dwoma zamalowanymi punktami. Z krzywej usunięto punkt znajdujący się bezpośrednio nad punktem leżącym poza krzywą. Punkt ten podpisano literą g. Aby udowodnić, że funkcja f nie jest ciągła pokażemy, że nie jest ona ciągła w punkcie x indeks dolny, zero. Aby udowodnić, że funkcja f nie jest ciągła pokażemy, że nie jest ona ciągła w punkcie x indeks dolny, zero, koniec indeksu dolnego. Bierzemy ciąg nawias, x indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, zamknięcie nawiasu zbieżny do punktu x indeks dolny, zero, koniec indeksu dolnego z lewej strony. Aby udowodnić, że funkcja f nie jest ciągła pokażemy, że nie jest ona ciągła w punkcie x indeks dolny, zero, koniec indeksu dolnego. Bierzemy ciąg nawias, x indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, zamknięcie nawiasu zbieżny do punktu x indeks dolny, zero, koniec indeksu dolnego z lewej strony. Punkt znajdujący się poza krzywą ma współrzędne: nawias x indeks dolny, zero, koniec indeksu dolnego średnik f nawias, x indeks dolny, zero, koniec indeksu dolnego, zamknięcie nawiasu zamknięcie nawiasu. Punkty oznaczone na osi x jako x indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego a na osi y jako f nawias, x indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, zamknięcie nawiasu znajdują na wykresie, po lewej stronie od niezamalowanego punktu oznaczonego literą g. Mimo tego, że ciąg nawias, x indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, zamknięcie nawiasu dążył do x indeks dolny, zero, koniec indeksu dolnego, ciąg wartości nawias, f nawias, x indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, zamknięcie nawiasu, zamknięcie nawiasu nie zbiega do f nawias, x indeks dolny, zero, koniec indeksu dolnego, zamknięcie nawiasu, a więc funkcja f nie jest ciągła w punkcie x indeks dolny, zero, koniec indeksu dolnego. Ponieważ funkcja f nie jest ciągła w punkcie x indeks dolny, zero, koniec indeksu dolnego, jest nieciągła. Zauważmy, że analogiczne rozumowanie mogliśmy przeprowadzić dla ciągu zbieżnego do x indeks dolny, zero, koniec indeksu dolnego z prawej strony. Ten typ nieciągłości funkcji nazywa się „luką”.

Ilustracja czwarta przedstawia pierwszą ćwiartkę układu współrzędnych. Na płaszczyźnie narysowano wykres funkcji składający się z zamalowanego punktu oraz fragmentu krzywej, który z rozpoczyna się niezamalowaną kropką znajdującą się na tej samej wysokości co osobny punkt, a kończy się w zamalowanym punkcie. Punkt zrzutowano na oś x oraz oś y, jego współrzędne to: nawias x indeks dolny, zero, koniec indeksu dolnego średnik f nawias, x indeks dolny, zero, koniec indeksu dolnego, zamknięcie nawiasu zamknięcie nawiasu. Drugą część wykresu zrzutowano na oś X Dziedziną jest tu punkt x indeks dolny, zero, koniec indeksu dolnego oraz odcinek lewostronnie otwarty leżący na osi X. Funkcja f wydaje się być nieciągła w punkcie x indeks dolny, zero, koniec indeksu dolnego. Nie jest to jednak prawda. Postępując zgodnie z definicją bierzemy dowolny ciąg elementów dziedziny D, który dąży do x indeks dolny, zero, koniec indeksu dolnego. Dziedzina D składa się z punktu i przedziału. Każdy ciąg elementów D dążący do x indeks dolny, zero, koniec indeksu dolnego musi być od pewnego miejsca równy x indeks dolny, zero, koniec indeksu dolnego. Ma więc postać wielokropek, przecinek, x indeks dolny, zero, koniec indeksu dolnego, przecinek, x indeks dolny, zero, koniec indeksu dolnego, przecinek, x indeks dolny, zero, koniec indeksu dolnego, przecinek, x indeks dolny, zero, koniec indeksu dolnego, przecinek, wielokropek. Ciąg wartości ma wtedy postać . . ., przecinek, f nawias x indeks dolny, zero, koniec indeksu dolnego, zamknięcie nawiasu, przecinek, f nawias x indeks dolny, zero, koniec indeksu dolnego, zamknięcie nawiasu, przecinek, f nawias x indeks dolny, zero, koniec indeksu dolnego, zamknięcie nawiasu, przecinek, f nawias x indeks dolny, zero, koniec indeksu dolnego, zamknięcie nawiasu, przecinek, . . ., a zatem zbiega do f nawias, x indeks dolny, zero, koniec indeksu dolnego, zamknięcie nawiasu. Funkcja f jest więc ciągła w x indeks dolny, zero, koniec indeksu dolnego. Jest ona także ciągła w pozostałych punktach. Tym samym, funkcja f jest ciągła.

Ilustracja piąta przedstawia wykres składający się z dwóch fragmentów krzywej. Pierwszy fragment zaczyna się w zamalowanym punkcie i następnie biegnie po łuku to niezamalowanego punktu, bezpośrednio pod tym punktem znajduje się początek drugiego fragmentu wykresu, który również jest niezamalowanym punktem. Z tego punktu wykres biegnie po łuku do zamalowanego punktu. Wykresy zrzutowano na oś x i podpisano literą D, punkty na wykresie, które oznaczono niezamalowanym punktem również zrzutowano i podpisano x indeks dolny, zero, koniec indeksu dolnego. Dziedziną D funkcji f jest sumą dwóch przedziałów. Funkcja f jest ciągła w każdym punkcie należącym do lewego przedziału. Na jej ciągłość nie wpływają wartości jakie funkcja f przyjmuje na prawym przedziale. Funkcja f jest także ciągła na prawym przedziale. Ostatecznie funkcja f jest ciągła jako funkcja ciągła w każdym punkcie swojej dziedziny. Mogłoby się wydawać, że funkcja f jest nieciągła w x indeks dolny, zero, koniec indeksu dolnego. Punkt x indeks dolny, zero, koniec indeksu dolnego nie należy jednak do dziedziny i funkcja f nie jest w nim określona. Nie może być w nim tym bardziej ciągła lub nieciągła.