Ilustracja pierwsza przedstawia pierwszą ćwiartkę układu współrzędnych, w której narysowano wykres funkcji f będący kawałkiem krzywej, która została ograniczona dwoma zamalowanymi punktami. Na osiach zarówno pionowej i poziomej zaznaczono punkty i połączono je liniami przerywanymi z wykresem funkcji f. Aby udowodnić, że funkcja $f$ jest ciągła wybieramy punkt $x_0$ z dziedziny funkcji $f$. Jeden z punktów na osi x podpisujemy $x_0$, odpowiadający jej punkt na osi y podpisujemy $f\left(x_0\right)$. Następnie bierzemy ciąg argumentów $\left(x_n\right)$, który zbiega do argumentu $x_0$. Pozostałe punkty na osi x oznaczamy $x_n$, a na osi y oznaczamy $f\left(x_n\right)$. Zauważamy, że ciąg wartości $\left(f\left(x_n\right)\right)$ dąży do wartości $f\left(x_0\right)$, co za tym idzie funkcja $f$ jest ciągła w punkcie $x_0$.Podobna argumentacja jest prawdziwa dla każdego punktu z dziedziny funkcji $f$. Funkcja $f$ jest zatem ciągła w każdym punkcie swojej dziedziny, a więc jest ciągła.

Ilustracja druga przedstawia pierwszą ćwiartkę układu współrzędnych, w której narysowano wykres funkcji f składający się z dwóch elementów. Pierwszy jest kawałkiem krzywej o lewym końcu w zamalowanym punkcie oraz ograniczonym z prawej strony niezmalowanym punktem. Drugi element wykresu to łuk wybrzuszony ku górze, którego końce znajdują się w zamalowanych punktach. Aby udowodnić, że funkcja $f$ nie jest ciągła pokażemy, że nie jest ona ciągła w punkcie $x_0$. Bierzemy ciąg $\left(x_n\right)$ zbieżny do punktu $x_0$ z lewej strony. Punkt będący początkiem drugiego fragmentu wykresu na osi x oznaczono $x_0$, a na osi y oznaczono $f\left(x_0\right)$. Z kolei punkty o współrzędnych nawias $x_n$ średnik $f\left(x_n\right)$ należą do pierwszego fragmentu wykresu. Mimo tego, że ciąg $\left(x_n\right)$ dążył do $x_0$, ciąg wartości $\left(f\left(x_n\right)\right)$ nie zbiega do $f\left(x_0\right)$, a więc funkcja $f$ nie jest ciągła w punkcie $x_0$. Ponieważ funkcja $f$ nie jest ciągła w punkcie $x_0$, jest nieciągła. Zauważmy, że biorąc ciąg argumentów zbieżny z prawej strony do $x_0$ otrzymamy, że odpowiadający mu ciąg wartości dąży do $f\left(x_0\right)$. Ten typ nieciągłości funkcji nazywa się „skokiem”.

Ilustracja trzecia przedstawia pierwszą ćwiartkę układu współrzędnych, w której narysowano wykres funkcji f składający się z zamalowanego punktu oraz z fragmentu krzywej w kształcie poziomo ustawionej litery S zawartej między dwoma zamalowanymi punktami. Z krzywej usunięto punkt znajdujący się bezpośrednio nad punktem leżącym poza krzywą. Punkt ten podpisano literą g. Aby udowodnić, że funkcja $f$ nie jest ciągła pokażemy, że nie jest ona ciągła w punkcie $x_0$. Aby udowodnić, że funkcja $f$ nie jest ciągła pokażemy, że nie jest ona ciągła w punkcie $x_0$. Bierzemy ciąg $\left(x_n\right)$ zbieżny do punktu $x_0$ z lewej strony. Aby udowodnić, że funkcja $f$ nie jest ciągła pokażemy, że nie jest ona ciągła w punkcie $x_0$. Bierzemy ciąg $\left(x_n\right)$ zbieżny do punktu $x_0$ z lewej strony. Punkt znajdujący się poza krzywą ma współrzędne: nawias $x_0$ średnik $f\left(x_0\right)$ zamknięcie nawiasu. Punkty oznaczone na osi x jako $x_{\mathrm{n}}$ a na osi y jako $f\left(x_{\mathrm{n}}\right)$ znajdują na wykresie, po lewej stronie od niezamalowanego punktu oznaczonego literą g. Mimo tego, że ciąg $\left(x_n\right)$ dążył do $x_0$, ciąg wartości $\left(f\left(x_n\right)\right)$ nie zbiega do $f\left(x_0\right)$, a więc funkcja $f$ nie jest ciągła w punkcie $x_0$. Ponieważ funkcja $f$ nie jest ciągła w punkcie $x_0$, jest nieciągła. Zauważmy, że analogiczne rozumowanie mogliśmy przeprowadzić dla ciągu zbieżnego do $x_0$ z prawej strony. Ten typ nieciągłości funkcji nazywa się „luką”.

Ilustracja czwarta przedstawia pierwszą ćwiartkę układu współrzędnych. Na płaszczyźnie narysowano wykres funkcji składający się z zamalowanego punktu oraz fragmentu krzywej, który z rozpoczyna się niezamalowaną kropką znajdującą się na tej samej wysokości co osobny punkt, a kończy się w zamalowanym punkcie. Punkt zrzutowano na oś x oraz oś y, jego współrzędne to: nawias $x_0$ średnik $f\left(x_0\right)$ zamknięcie nawiasu. Drugą część wykresu zrzutowano na oś X Dziedziną jest tu punkt $x_0$ oraz odcinek lewostronnie otwarty leżący na osi X. Funkcja $f$ wydaje się być nieciągła w punkcie $x_0$. Nie jest to jednak prawda. Postępując zgodnie z definicją bierzemy dowolny ciąg elementów dziedziny $D$, który dąży do $x_0$. Dziedzina $D$ składa się z punktu i przedziału. Każdy ciąg elementów $D$ dążący do $x_0$ musi być od pewnego miejsca równy $x_0$. Ma więc postać $...,x_0,x_0,x_0,x_0,...$. Ciąg wartości ma wtedy postać $...,f\left(x_0\right),f\left(x_0\right),f\left(x_0\right),f\left(x_0\right),...$, a zatem zbiega do $f\left(x_0\right)$. Funkcja $f$ jest więc ciągła w $x_0$. Jest ona także ciągła w pozostałych punktach. Tym samym, funkcja $f$ jest ciągła.

Ilustracja piąta przedstawia wykres składający się z dwóch fragmentów krzywej. Pierwszy fragment zaczyna się w zamalowanym punkcie i następnie biegnie po łuku to niezamalowanego punktu, bezpośrednio pod tym punktem znajduje się początek drugiego fragmentu wykresu, który również jest niezamalowanym punktem. Z tego punktu wykres biegnie po łuku do zamalowanego punktu. Wykresy zrzutowano na oś x i podpisano literą D, punkty na wykresie, które oznaczono niezamalowanym punktem również zrzutowano i podpisano $x_0$. Dziedziną $D$ funkcji $f$ jest sumą dwóch przedziałów. Funkcja $f$ jest ciągła w każdym punkcie należącym do lewego przedziału. Na jej ciągłość nie wpływają wartości jakie funkcja $f$ przyjmuje na prawym przedziale. Funkcja $f$ jest także ciągła na prawym przedziale. Ostatecznie funkcja $f$ jest ciągła jako funkcja ciągła w każdym punkcie swojej dziedziny. Mogłoby się wydawać, że funkcja $f$ jest nieciągła w $x_0$. Punkt $x_0$ nie należy jednak do dziedziny i funkcja $f$ nie jest w nim określona. Nie może być w nim tym bardziej ciągła lub nieciągła.