Ilustracja pierwsza. Wyznaczymy takie wartości parametru m, dla których nierówność nawias, m, plus, dwa, zamknięcie nawiasu, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, m x, plus, jeden, większy niż, zero jest spełniona dla dowolnego x rzeczywistego. Rozpatrzymy najpierw przypadek, kiedy współczynnik a, równa się, zero. Nierówność jest wtedy pierwszego stopnia.

Ilustracja druga. Jeżeli m, plus, dwa, równa się, zero wtedy i tylko wtedy gdy m, równa się, minus, dwa, to nasza nierówność przyjmie postać minus, dwa x, plus, jeden, większy niż, zero, a stąd mamy x, mniejszy niż, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka. Nierówność ta nie jest prawdziwa dla dowolnego x, należy do, liczby rzeczywiste. Jeżeli m, nie równa się, minus, dwa, to nierówność jest kwadratowa. Aby ustalić warunki zadania, naszkicujemy wykres lewej strony nierówności. Interpretacja graficzna nierówności przedstawia poziomą oś X, nad którą narysowano parabolę z ramionami skierowanymi w górę. Parabola nie przecina osi. Nad osią narysowano kilka plusów.

Ilustracja trzecia. Parabola znajduje się powyżej osi X, czyli układ dwóch równań, klamra otwierająca. Równanie pierwsze m dodać 2 większe od zera, równanie drugie delta mniejsza od zera. Aby nierówność była prawdziwa dla dowolnego x współczynnik a musi być dodatni, aby ramiona paraboli były skierowane do góry, natomiast wyróżnik trójmianu kwadratowego ma być ujemny, aby parabola nie posiadała miejsc zerowych.

Ilustracja czwarta. Rozpatrzymy pierwszy z dwóch warunków, czyli m dodać 2 większe od zera. Mamy, że m, plus, dwa, równa się, zero wtedy i tylko wtedy gdy m, równa się, minus, dwa. Aby współczynnik a był dodatni parametr m musi być liczbą większą od nawias, minus, dwa, zamknięcie nawiasu. Teraz rozpatrzymy drugi warunek, czyli delta mniejsza od zera. Obliczymy, dla jakich m wyróżnik trójmianu kwadratowego jest ujemny. Rozpiszmy równanie. DELTA, równa się, m indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, cztery nawias, m, plus, dwa, zamknięcie nawiasu, równa się, m indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, cztery m, minus, osiem Po podstawieniu otrzymanego wyniku, nierówność z drugiego warunku jest postaci: m indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, cztery m, minus, osiem, mniejszy niż, zero. Obliczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego powyższego równania. DELTA indeks dolny, m, koniec indeksu dolnego, równa się, szesnaście, plus, cztery, razy, osiem, równa się, szesnaście, plus, trzydzieści dwa, równa się, czterdzieści osiem. Obliczamy pierwiastek wyróżnika. pierwiastek kwadratowy z DELTA indeks dolny, m, koniec indeksu dolnego koniec pierwiastka, równa się, pierwiastek kwadratowy z czterdzieści osiem koniec pierwiastka, równa się, cztery pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka Obliczamy miejsca zerowe: m indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, równa się, początek ułamka, cztery, minus, cztery pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, równa się, dwa, minus, dwa pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka oraz m indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, równa się, początek ułamka, cztery, plus, cztery pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, równa się, dwa, plus, dwa pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka. Ilustracja graficzna przedstawia poziomą oś m z zaznaczonymi na niej dwiema liczbami dwa, minus, dwa pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka oraz dwa, plus, dwa pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka. Liczby te zaznaczono niezamalowanymi kółkammi i poprowadzono przez nie parabolę z ramionami skierowanymi do góry, która przecina oś m w punktach dwa, minus, dwa pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka oraz dwa, plus, dwa pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka. Część znajdującą się pod wykresem oznaczono minusami. Jest to część na przedziale nawias, dwa, minus, dwa pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, średnik, dwa, plus, dwa pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, zamknięcie nawiasu. Aby parabola nie posiadała miejsc zerowych parametr m, należy do, nawias, dwa, minus, dwa pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, przecinek, dwa, plus, dwa pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, zamknięcie nawiasu.

Ilustracja piąta. Uwzględnijmy koniunkcję obu warunków. Interpretacja graficzna przedstawia poziomą oś m, na której zaznaczono dwa przedziały otwarte: od minus dwóch do plus nieskończoności oraz od dwa odjąć dwa pierwiastki z trzech do dwa dodać dwa pierwiastki z trzech. Koninunkcją przedziałów jest m, należy do, nawias, dwa, minus, dwa pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, średnik, dwa, plus, dwa pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, zamknięcie nawiasu. Komenatrz: Aby nierówność była spełniona dla dowolnego x, należy do, liczby rzeczywiste parametr m, należy do, nawias, dwa, minus, dwa pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, przecinek, dwa, plus, dwa pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, zamknięcie nawiasu.