Ilustracja pierwsza. Wyznaczymy takie wartości parametru m, dla których nierówność $\left(m+2\right)x^2+mx+1>0$ jest spełniona dla dowolnego x rzeczywistego. Rozpatrzymy najpierw przypadek, kiedy współczynnik $a=0$. Nierówność jest wtedy pierwszego stopnia.

Ilustracja druga. Jeżeli $m+2=0\iff m=-2$, to nasza nierówność przyjmie postać $-2x+1>0$, a stąd mamy $x<\frac{1}{2}$. Nierówność ta nie jest prawdziwa dla dowolnego $x\in \mathrm{ℝ}$. Jeżeli $m\ne -2$, to nierówność jest kwadratowa. Aby ustalić warunki zadania, naszkicujemy wykres lewej strony nierówności. Interpretacja graficzna nierówności przedstawia poziomą oś X, nad którą narysowano parabolę z ramionami skierowanymi w górę. Parabola nie przecina osi. Nad osią narysowano kilka plusów.

Ilustracja trzecia. Parabola znajduje się powyżej osi X, czyli układ dwóch równań, klamra otwierająca. Równanie pierwsze m dodać 2 większe od zera, równanie drugie delta mniejsza od zera. Aby nierówność była prawdziwa dla dowolnego $x$ współczynnik $a$ musi być dodatni, aby ramiona paraboli były skierowane do góry, natomiast wyróżnik trójmianu kwadratowego ma być ujemny, aby parabola nie posiadała miejsc zerowych.

Ilustracja czwarta. Rozpatrzymy pierwszy z dwóch warunków, czyli m dodać 2 większe od zera. Mamy, że $m+2=0\iff m=-2$. Aby współczynnik $a$ był dodatni parametr $m$ musi być liczbą większą od $\left(-2\right)$. Teraz rozpatrzymy drugi warunek, czyli delta mniejsza od zera. Obliczymy, dla jakich $m$ wyróżnik trójmianu kwadratowego jest ujemny. Rozpiszmy równanie. $\Delta =m^2-4\left(m+2\right)=m^2-4m-8$ Po podstawieniu otrzymanego wyniku, nierówność z drugiego warunku jest postaci: $m^2-4m-8<0$. Obliczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego powyższego równania. ${\Delta }_m=16+4·8=16+32=48$. Obliczamy pierwiastek wyróżnika. $\sqrt{{\Delta }_m}=\sqrt{48}=4\sqrt{3}$ Obliczamy miejsca zerowe: $m_1=\frac{4-4\sqrt{3}}{2}=2-2\sqrt{3}$ oraz $m_2=\frac{4+4\sqrt{3}}{2}=2+2\sqrt{3}$. Ilustracja graficzna przedstawia poziomą oś m z zaznaczonymi na niej dwiema liczbami $2-2\sqrt{3}$ oraz $2+2\sqrt{3}$. Liczby te zaznaczono niezamalowanymi kółkammi i poprowadzono przez nie parabolę z ramionami skierowanymi do góry, która przecina oś m w punktach $2-2\sqrt{3}$ oraz $2+2\sqrt{3}$. Część znajdującą się pod wykresem oznaczono minusami. Jest to część na przedziale $\left(2-2\sqrt{3};2+2\sqrt{3}\right)$. Aby parabola nie posiadała miejsc zerowych parametr $m\in \left(2-2\sqrt{3}, 2+2\sqrt{3}\right)$.

Ilustracja piąta. Uwzględnijmy koniunkcję obu warunków. Interpretacja graficzna przedstawia poziomą oś m, na której zaznaczono dwa przedziały otwarte: od minus dwóch do plus nieskończoności oraz od dwa odjąć dwa pierwiastki z trzech do dwa dodać dwa pierwiastki z trzech. Koninunkcją przedziałów jest $m\in \left(2-2\sqrt{3};2+2\sqrt{3}\right)$. Komenatrz: Aby nierówność była spełniona dla dowolnego $x\in \mathrm{ℝ}$ parametr $m\in \left(2-2\sqrt{3}, 2+2\sqrt{3}\right)$.