Przeczytaj

Pamiętasz?

Nierównością kwadratową z niewiadomą $x$ nazywamy każdą nierówność postaci $a x^{2} + b x + c > 0$ lub $a x^{2} + b x + c \geq 0$ , lub $a x^{2} + b x + c < 0$ , lub $a x^{2} + b x + c \leq 0$ , gdzie $a$ , $b$ , $c$ są ustalonymi liczbami rzeczywistymi i $a \neq 0$ .

Nierówności, w których wszystkie współczynniki są różne od $0$ , nazywamy nierównościami kwadratowymi zupełnymi.

Przykład 1

Obliczymy, dla jakich wartości parametru $k$ nierówność kwadratowa zupełnanierówność kwadratowa zupełnanierówność kwadratowa zupełna $k x^{2} + 5 x + 1 < 0$ nie posiada rozwiązań.

Rozwiązanie

Dla $k \neq 0$ nierówność $k x^{2} + 5 x + 1 < 0$ jest nierównością kwadratową zupełną.

Aby nierówność nie posiadała rozwiązań wykres funkcji $f (x) = k x^{2} + 5 x + 1$ musi znajdować się powyżej osi $X$ .

Czyli $\{\begin{cases} 1 . k > 0 \\ 2 . ∆ \leq 0 \end{cases}$ .

$k \in (0, \infty)$

$∆ = 5^{2} - 4 k = 25 - 4 k$
$25 - 4 k \leq 0$
$- 4 k \leq - 25$
$k \geq \frac{25}{4}$

Uwzględniając koniunkcję warunków (1) i (2)

RZuHWqLX1y7ZE

Ilustracja przedstawia poziomą oś k z zaznaczonymi liczbami: 0 niezamalowanym kółkiem oraz 254 zamalowanym kółkiem. Na osi zaznaczono dwa przedziały otwarty od zera do plus nieskończoności oraz lewostronnie domknięty od 254 do plus nieskończoności.

$k \in ⟨\frac{25}{4}, \infty)$ .

Przykład 2

Dana jest funkcja $f (x) = x^{2} + b x + c$ . Obliczymy współczynniki $b$ i $c$ , jeżeli wiadomo, że zbiorem rozwiązań nierówności $f (x) < 0$ jest przedział $(1, 3)$ .

Rozwiązanie

Wykresem funkcji kwadratowej jest parabola o ramionach skierowanych do góry, bo współczynnik przy $x^{2}$ jest dodatni. Miejsca zerowe funkcji to $x = 1$ , $x = 3$ .

R8rIKJ0QrIvEx

Rysunek przedstawia poziomą oś X z zaznaczonymi na niej liczbami: 1 i 3 . Przez liczby poprowadzono wykres wielomianu tak, że od minus nieskończoności do jeden wykres znajduje się nad osią, w punkcie 1 przechodzi pod oś i wraca nad oś w punkcie 3.

Zapiszemy wzór funkcji $f (x)$ w postaci iloczynowej.

$f (x) = (x - 1) (x - 3)$

$f (x) = x^{2} - 3 x - x + 3 = x^{2} - 4 x + 3$

Czyli $b = - 4$ , $c = 3$ .

Aby zbiorem rozwiązań nierówności był przedział $(1, 3)$ współczynnik $b = - 4$ , współczynnik $c = 3$ .

Przykład 3

Obliczymy, dla jakich wartości parametru $k$ nierówność $(x - 2 k) (x - k - 2) \leq 0$ jest spełniona przez każdą liczbę należącą do przedziału $⟨1, 2⟩$ .

Rozwiązanie

$(x - 2 k) (x - k - 2) \leq 0$

Miejsce zerowe funkcji $f (x) = (x - 2 k) (x - k - 2)$ to $x = 2 k \lor x = k + 2$ . Zatem $x \in ⟨2 k, k + 2⟩$ lub $⟨k + 2, 2 k⟩$ .

Aby nierówność była spełniona przez każdą liczbę $x \in ⟨1, 2⟩$ :

$⟨1, 2⟩ \subset ⟨2 k, k + 2⟩$ lub $⟨1, 2⟩ \subset ⟨k + 2, 2 k⟩$

$1 \geq 2 k \land 2 \leq k + 2$ lub $1 \geq k + 2 \land 2 \leq 2 k$

$k \leq \frac{1}{2} \land k \geq 0$ lub $k \leq - 1 \land k \geq 1$

$k \in ⟨0, \frac{1}{2}⟩$ lub sprzeczność.

Nierówność będzie spełniona przez każdą liczbę $x \in ⟨1, 2⟩$ dla $k \in ⟨0, \frac{1}{2}⟩$ .

Przykład 4

Obliczymy, dla jakich wartości parametru $m$ dziedziną funkcji $f (x) = \sqrt{x^{2} + (m - 2) x + 4}$ jest zbiór liczb rzeczywistych.

Rozwiązanie

Pierwiastek kwadratowy jest określony dla liczb nieujemnych, czyli $x^{2} + (m - 2) x + 4 \geq 0$ .

Zatem $∆ \leq 0$ .

$∆ = {(m - 2)}^{2} - 4 \cdot 4 = m^{2} - 4 m + 4 - 16 = m^{2} - 4 m - 12$

$m^{2} - 4 m - 12 \leq 0$

$∆_{m} = 16 + 4 \cdot 12 = 16 + 48 = 64$

$\sqrt{∆_{m}} = 8$

$m_{1} = \frac{4 - 8}{2} = - 2$

$m_{2} = \frac{4 + 8}{2} = 6$

R1QB5yT2J0aHs

Rysunek przedstawia poziomą oś m z zaznaczonymi na niej liczbami: minus 2 i 6 . Liczby zaznaczono zamalowanymi kółkami i poprowadzono przez nie wykres wielomianu tak, że od minus nieskończoności do minus dwóch wykres znajduje się nad osią, w punkcie minus dwa przechodzi pod oś i wraca nad oś w punkcie 6. Część znajdującą się pod wykresem oznaczono minusami między wykresem a osią.

$m \in ⟨- 2, 6⟩$ .

Dla $m \in ⟨- 2, 6⟩$ dziedziną funkcji jest zbiór liczb rzeczywistych.

Przykład 5

Wyznaczymy takie całkowite wartości parametru $m$ dla których nierówność $(x - 2) (x - m) < 0$ ma dokładnie pięć rozwiązań całkowitych.

Rozwiązanie

$(x - 2) (x - m) < 0$

$x = 2$ , $x = m$

1. $m < 2$

R1CVFsxqmjZ8D

Rysunek przedstawia poziomą oś X z zaznaczonymi na niej liczbami: m i 2, przy czym m jest mniejsza od dwóch. Liczby zaznaczono niezamalowanymi kółkami i poprowadzono przez nie wykres wielomianu tak, że od minus nieskończoności do m wykres znajduje się nad osią, w punkcie m przechodzi pod oś i wraca nad oś w punkcie 2. Część znajdującą się pod wykresem oznaczono minusami między wykresem a osią.

$x \in (m, 2)$

Liczby całkowite należące do zbioru rozwiązań nierówności ${- 3, - 2, - 1, 0, 1}$ . Czyli $m = - 4$ .

2. $m > 2$

RbTNe4m97vr7U

Rysunek przedstawia poziomą oś X z zaznaczonymi na niej liczbami: 2 i m, przy czym m jest większe od dwóch. Liczby zaznaczono niezamalowanymi kółkami i poprowadzono przez nie wykres wielomianu tak, że od minus nieskończoności do dwóch wykres znajduje się nad osią, w punkcie 2 przechodzi pod oś i wraca nad oś w punkcie m. Część znajdującą się pod wykresem oznaczono minusami między wykresem a osią.

Liczby całkowite należące do zbioru rozwiązań nierówności to $\{3, 4, 5, 6, 7\}$ . Czyli $m = 8$ .

Nierówność ma dokładnie pięć rozwiązań całkowitych dla $m \in \{- 4, 8\}$ .

Słownik

nierówność kwadratowa zupełna

nierówność, w której wszystkie współczynniki są różne od zera

Wprowadzenie

Galeria zdjęć interaktywnych

Słownik