Galeria zdjęć interaktywnych

Polecenie 1

Zapoznaj się z przykładem przedstawionym w galerii zdjęć interaktywnych, a następnie wykonaj polecenie 2 i 3.

Rsng9EYBHPHUn

RP7ScIA0YCUX4

RmQlByMfYHRB3

R1MRgkc0H7H7G

RZWLbBMzU12dj

Ilustracja interaktywna numer jeden. Napis, Pole przekroju graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego zawierającego dłuższą przekątną podstawy i krawędź drugiej podstawy wynosi dziewięć, a wysokość przekroju sześć. Oblicz kąt nachylenia przekroju do podstawy. Rozwiązanie, wykonujemy rysunek pomocniczy. Ilustracja przedstawia graniastosłup prawidłowy sześciokątny A B C D E F G H I J K L, gdzie wierzchołek G znajduje się nad A, wierzchołek H nad B, wierzchołek I nad C, wierzchołek J nad D, wierzchołek K nad E, wierzchołek L nad F. Na rysunku zaznaczono przekrój bryły A D K L. Na środku odcinak K L zaznaczono punkt S, z którego upuszczono wysokość S N przekroju. Punkt N znajduje się na środku odcinka A D. Na środku odcinka E F zaznaczono punkt M którego połączono z punktem N. Zaznaczono również kąt alfa pomiędzy odcinkiem M N i odcinkiem S N.

Ilustracja interaktywna numer dwa. Zauważamy, że przekrój ten jest trapezem równoramiennym. Podstawy tego trapezu mają długość dwa a i a gdzie a jest długością krawędzi graniastosłupa, a wysokość sześć. Ilustracja z poprzedniego slajdu.

Ilustracja interaktywna numer trzy. Korzystając ze wzoru na pole obliczamy długość krawędzi podstawy tego graniastosłupa. $9 = \frac{(a + 2 a) \cdot 6}{2}$ , $3 a = 3$ , $a = 1$ . Ilustracja z poprzedniego slajdu.

Ilustracja interaktywna numer cztery. Odcinek $M N$ stanowi połowę krótszej przekątnej podstawy. $|M N| = \frac{\sqrt{3}}{2}$ . Ilustracja z poprzedniego slajdu.

Ilustracja interaktywna numer pięć. Obliczamy miarę kąta $α$ korzystając z funkcji trygonometrycznych dla trójkąta $S M N$ . $\cos α = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{6} = \frac{\sqrt{3}}{12} \approx 0, 1443$ , $α = 82 °$ . Odpowiedź, kąt nachylenia przekroju do podstawy wynosi około osiemdziesiąt dwa stopnie.

Polecenie 2

Pole przekroju przechodzącego przez trzy wierzchołki graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego i krótszą przekątną podstawy wynosi $9$ , a wysokość tego przekroju ma długość $6$ . Oblicz miarę kąta nachylenia tego przekroju do płaszczyzny podstawy.

Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku:

Rh02K6kc9jViu

Ilustracja przedstawia graniastosłup prawidłowy sześciokątny oraz przekrój przechodzący przez trzy wierzchołki i krótszą przekątną podstawy. Powstał trójkąt równoramienny, którego podstawa będąca jednocześnie krótsza przekątna ma długość a pierwiastków z trzech. Krawędź podstawy graniastosłupa ma długość a, natomiast jego wysokość ma długość sześć. Zaznaczono również kąt nachylenia przekroju do podstawy graniastosłupa. Kąt ten oznaczono jako alfa.

Zauważmy, że: $9 = \frac{1}{2} \cdot a \sqrt{3} \cdot 6$ a stąd: $a = \sqrt{3}$ .

Korzystamy z definicji cosinusa w trójkącie prostokątnym: $\cos α = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{6} = \frac{\sqrt{3}}{12} \approx 0, 14$ .

Odczytujemy miarę kąta z tablic matematycznych: $α \approx 82 °$

Kąt ma miarę około $82 °$ .

Polecenie 3

Kąt nachylenia przekroju przechodzącego przez dłuższą przekątną podstawy i krawędź podstawy graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego ma miarę $60 °$ . Uzasadnij, że wysokość tego graniastosłupa jest o $50 %$ dłuższa od krawędzi podstawy.

RaPXhP8zbMZzN

Ilustracja przedstawia graniastosłup prawidłowy sześciokątny A B C D E F G H I J K L, gdzie wierzchołek G znajduje się nad A, wierzchołek H nad B, wierzchołek I nad C, wierzchołek J nad D, wierzchołek K nad E, wierzchołek L nad F. Na rysunku zaznaczono także przekrój bryły A D K L. Na środku odcinka L K zaznaczono punkt M, z którego upuszczono wysokość przekroju M N, gdzie N znajduje się na środku odcinka A D. Na środku odcinka E F zaznaczono punkt O, który następnie połączono z punktem N. Zaznaczono kąt sześćdziesięciu stopni utworzony z odcinka O N i odcinka N M.

Oznaczmy krawędź podstawy przez $a$ . Mamy wtedy $|O N| = \frac{a \sqrt{3}}{2}$ .

Trójkąt $M O N$ jest prostokątny. Odcinek $M O$ ma długość równą długości wysokości graniastosłupa.

Z funkcji trygonometrycznych otrzymujemy $tg 60 ° = \frac{|M O|}{|O N|}$ .

A stąd $|M O| = \sqrt{3} \cdot \frac{a \sqrt{3}}{2} = \frac{3}{2} a = 150 % a$ .

A zatem wysokość graniastosłupa jest o $50 %$ dłuższa od krawędzi podstawy.

Przeczytaj

Sprawdź się