W graniastosłupie prawidłowym sześciokątnym istnieją kąty, które mają stałą miarę, niezależnie od wymiarów:
kąty między podstawą a ścianami bocznymi mają miary .
kąt liniowy kąta dwuściennegokąt dwuściennykąta dwuściennego pomiędzy ścianami bocznymi w graniastosłupie prawidłowym sześciokątnym ma miarę i jest równy mierze kąta wewnętrznego sześciokąta będącego jego podstawą.
R1GP8flunzwVZ
Kąty między przekrojami graniastosłupa a podstawą lub ścianą boczną zależą już jednak od wymiarów tego graniastosłupa.
Narysujmy przekrój graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego zawierający równoległe krawędzie różnych podstaw oraz środki przeciwległych krawędzi bocznych. Zaznaczmy kąt liniowy między tym przekrojem a podstawą. Jest to kąt pomiędzy krótszą przekątną graniastosłupa a krótszą przekątną podstawy.
R1ScBA4RYrWd4
Przykład 1
Dany jest graniastosłup prawidłowy sześciokątny o krawędzi podstawy długości i krawędzi bocznej długości . Wyznaczymy miarę kąta nachylenia płaszczyzny zawierającej równoległe krawędzie różnych podstaw do płaszczyzny podstawy.
Rozwiązanie
Zrobimy rysunek pomocniczy i wprowadzimy oznaczenia:
R7tj48aj9HrCR
Odcinek jest krótszą przekątną podstawy graniastosłupa, więc . Zatem: , a stąd: .
Kąt liniowy kąta dwuściennegokąt liniowy kąta dwuściennegoKąt liniowy kąta dwuściennego pomiędzy przekrojem, który nie jest prostopadły do podstawy i zawiera równoległe krótsze przekątne podstawy a płaszczyzną podstawy jest kątem pomiędzy przekątną ściany bocznej a krawędzią podstawy.
RhrbsO4UrS2fg
Znając długości krawędzi lub innych odcinków w graniastosłupie prawidłowym sześciokątnym możemy obliczyć miarę kąta pomiędzy przekrojem a podstawą lub ścianą graniastosłupa.
Przykład 2
Przekrój graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego przechodzi przez trzy końce krawędzi wychodzących z tego samego wierzchołka. Krawędź podstawy tego graniastosłupa ma długość , a krawędź boczna . Obliczymy miarę kąta nachylenia przekroju do płaszczyzny podstawy.
Rozwiązanie
Zrobimy rysunek pomocniczy:
R1RYZdSHJ9fBs
Kąt, którego szukamy, został oznaczony na rysunku przez .
Odcinek stanowi połowę krawędzi podstawy graniastosłupa. Tak więc . Korzystając z trójkąta mamy , czyli .
Przykład 3
Dany jest graniastosłup prawidłowy sześciokątny o krawędzi podstawy długości i krawędzi bocznej długości . Wyznaczymy miarę kąta nachylenia przekroju tego graniastosłupa przechodzącego przez dłuższą przekątną jednej i równoległą do niej krawędź drugiej podstawy do płaszczyzny ściany bocznej.
Rozwiązanie
Zrobimy rysunek pomocniczy i wprowadzimy oznaczenia:
RfpH0MtusXXHC
Odcinek jest wysokością trójkąta równobocznego o boku , zatem: .
Wyznaczamy miarę kąta nachylenia:
, co daje: .
Znając kąt nachylenia przekroju graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego do podstawy możemy obliczyć długości odcinków i objętość tego graniastosłupa a także pole przekroju.
Przykład 4
Przekrój graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego przechodzący przez dłuższą przekątną jednej i równoległą do niej krawędź drugiej podstawy jest nachylony do podstawy pod kątem . Wysokość tego graniastosłupa wynosi . Obliczymy pole tego przekroju.
Rozwiązanie
Przekrój ten ma kształt trapezu równoramiennego. Zrobimy rysunek pomocniczy i zaznaczymy na nim dane:
RHF1O3wZpPczY
Wiemy, że . Obliczymy długość odcinka korzystając z funkcji trygonometrycznych w trójkącie . Mamy wtedy , czyli . Ostatecznie .
Mamy, że , czyli oraz . Obliczymy jeszcze długość wysokości przekroju . Z funkcji trygonometrycznych dla trójkąta mamy a stąd .
Możemy już obliczyć pole przekroju : .
Przykład 5
Krawędź podstawy graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego ma długość , a krawędź boczna ma długość . Jeden przekrój tego graniastosłupa przechodzi przez trzy wierzchołki różnych krawędzi wychodzących z tego samego wierzchołka a drugi zawiera dwie krótsze przekątne i nie jest prostopadły do podstawy. Sprawdzimy, czy płaszczyzny przekrojów są równoległe.
Rozwiązanie
Zrobimy rysunek pomocniczy i wprowadzimy oznaczenia:
R1Lq7Um8d2KiH
Płaszczyzny przekrojów będą równoległe, jeśli miary kątów i będą równe.
Obliczamy miarę kąta :
i a stąd: .
Wyznaczamy miarę kąta :
, co daje: .
Zatem płaszczyzny tych przekrojów nie są równoległe.
Słownik
kąt dwuścienny
kąt dwuścienny
kąt pomiędzy dwiema półpłaszczyznami o wspólnym brzegu, składa się ze ścian kąta dwuściennego, jednego z obszarów zawartego pomiędzy tymi półpłaszczyznami i jego krawędzi będącej częścią wspólną półpłaszczyzn, które go tworzą
kąt liniowy kąta dwuściennego
kąt liniowy kąta dwuściennego
kąt powstały jako część wspólna kąta dwuściennego z płaszczyzną prostopadłą do krawędzi tego kąta