Dany jest graniastosłup prawidłowy sześciokątny o krawędzi podstawy długości $12$ i krawędzi bocznej długości $10$. Wyznaczymy miarę kąta nachylenia płaszczyzny zawierającej równoległe krawędzie różnych podstaw do płaszczyzny podstawy.

Rozwiązanie

Zrobimy rysunek pomocniczy i wprowadzimy oznaczenia:

R7tj48aj9HrCR

Ilustracja przedstawia graniastosłup prawidłowy sześciokątny A B C D E F G H I J K L, gdzie wierzchołek G znajduje się nad A, wierzchołek H nad B, wierzchołek I nad C, wierzchołek J nad D, wierzchołek K nad E, wierzchołek L nad F. Na ilustracji zaznaczono także przekrój C D R L G O, gdzie punkt R znajduje się w środku odcinka E K, natomiast punkt O znajduje się na środku odcinka B H. Wewnątrz bryły zaznaczono również kąt alfa utworzony pomiędzy odcinkami A C oraz G C. Odcinek A G, czyli wysokość bryły ma długość dziesięć, odcinek B C czyli krawędź podstawy ma długość dwanaście, natomiast odcinek A C ma długość x.

Odcinek $x$ jest krótszą przekątną podstawy graniastosłupa, więc $x=12\sqrt{3}$. Zatem: $\mathrm{tg}\alpha =\frac{10}{12\sqrt{3}}=\frac{5\sqrt{3}}{18}$, a stąd: $\alpha \approx 26°$.

Przekrój graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego przechodzi przez trzy końce krawędzi wychodzących z tego samego wierzchołka. Krawędź podstawy tego graniastosłupa ma długość $4$, a krawędź boczna $6$. Obliczymy miarę kąta nachylenia przekroju do płaszczyzny podstawy.

Rozwiązanie

Zrobimy rysunek pomocniczy:

R1RYZdSHJ9fBs

Ilustracja przedstawia graniastosłup prawidłowy sześciokątny A B C D E F G H I J K L, gdzie wierzchołek G znajduje się nad A, wierzchołek H nad B, wierzchołek I nad C, wierzchołek J nad D, wierzchołek K nad E, wierzchołek L nad F. Wierzchołek K został połączony odcinkiem z wierzchołkami D i F. Powstał trójkąt równoramienny F D K. Z wierzchołka K upuszczono również wysokość K S na podstawę F D. Powstał trójkąt E S K. Przy wierzchołku S zaznaczono kąt alfa.

Kąt, którego szukamy, został oznaczony na rysunku przez $\alpha$.

Odcinek $ES$ stanowi połowę krawędzi podstawy graniastosłupa. Tak więc $\left|ES\right|=2$. Korzystając z trójkąta $KES$ mamy $tg\alpha =\frac{\left|KE\right|}{\left|ES\right|}=\frac{6}{2}=3$, czyli $\alpha \approx 72°$.

Dany jest graniastosłup prawidłowy sześciokątny o krawędzi podstawy długości $8$ i krawędzi bocznej długości $6$. Wyznaczymy miarę kąta nachylenia przekroju tego graniastosłupa przechodzącego przez dłuższą przekątną jednej i równoległą do niej krawędź drugiej podstawy do płaszczyzny ściany bocznej.

Rozwiązanie

Zrobimy rysunek pomocniczy i wprowadzimy oznaczenia:

RfpH0MtusXXHC

Ilustracja przedstawia graniastosłup prawidłowy sześciokątny A B C D E F G H I J K L, gdzie wierzchołek G znajduje się nad A, wierzchołek H nad B, wierzchołek I nad C, wierzchołek J nad D, wierzchołek K nad E, wierzchołek L nad F. Na rysunku zaznaczono także przekrój bryły A D K L. Na środku odcinka L K zaznaczono punkt M z którego upuszczono wysokość przekroju M N, gdzie N znajduje się na środku odcinka A D. Z wierzchołka M poprowadzono również wysokość M O ściany bocznej F E K L. Powstał trójkąt prostokątny O N M z kątem prostym przy wierzchołku O i z kątem alfa przy wierzchołku M. Krawędź podstawy ma długość osiem, wysokość bryły ma długość sześć, natomiast odcinek O N został oznaczony jako x.

Odcinek $x$ jest wysokością trójkąta równobocznego o boku $8$, zatem: $x=4\sqrt{3}$.

Wyznaczamy miarę kąta nachylenia:

$\mathrm{tg}\alpha =\frac{4\sqrt{3}}{6}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$, co daje: $\alpha \approx 49°$.

Przekrój graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego przechodzący przez dłuższą przekątną jednej i równoległą do niej krawędź drugiej podstawy jest nachylony do podstawy pod kątem $49°$. Wysokość tego graniastosłupa wynosi $4$. Obliczymy pole tego przekroju.

Rozwiązanie

Przekrój ten ma kształt trapezu równoramiennego. Zrobimy rysunek pomocniczy i zaznaczymy na nim dane:

RHF1O3wZpPczY

Ilustracja przedstawia graniastosłup prawidłowy sześciokątny A B C D E F G H I J K L, gdzie wierzchołek G znajduje się nad A, wierzchołek H nad B, wierzchołek I nad C, wierzchołek J nad D, wierzchołek K nad E, wierzchołek L nad F. Na rysunku zaznaczono także przekrój bryły A D K L. Na środku odcinka L K zaznaczono punkt M z którego upuszczono wysokość przekroju M N, gdzie N znajduje się na środku odcinka A D. Z wierzchołka M poprowadzono również wysokość M O ściany bocznej F E K L. Powstał trójkąt prostokątny O N M z kątem prostym przy wierzchołku O i z kątem czterdziestu dziewięciu stopni przy wierzchołku N.

Wiemy, że $\left|OM\right|=4$. Obliczymy długość odcinka $ON$ korzystając z funkcji trygonometrycznych w trójkącie $MON$. Mamy wtedy $tg49°=\frac{4}{\left|ON\right|}$, czyli $1,1504=\frac{4}{\left|ON\right|}$. Ostatecznie $\left|ON\right|\approx 3,5$.

Mamy, że $\left|ON\right|=\frac{\left|LK\right|\sqrt{3}}{2}$, czyli $\left|LK\right|\approx 4$ oraz $\left|AD\right|\approx 8$. Obliczymy jeszcze długość wysokości przekroju $MN$. Z funkcji trygonometrycznych dla trójkąta $MON$ mamy $\sin 49°=\frac{4}{\left|MN\right|}$ a stąd $\left|MN\right|=\frac{4}{0,7547}\approx 5,3$.

Możemy już obliczyć pole przekroju $ADKL$: $P\approx \frac{\left(4+8\right)·5,3}{2}=31,8$.

Krawędź podstawy graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego ma długość $8$, a krawędź boczna ma długość $10$. Jeden przekrój tego graniastosłupa przechodzi przez trzy wierzchołki różnych krawędzi wychodzących z tego samego wierzchołka a drugi zawiera dwie krótsze przekątne i nie jest prostopadły do podstawy. Sprawdzimy, czy płaszczyzny przekrojów są równoległe.

Rozwiązanie

Zrobimy rysunek pomocniczy i wprowadzimy oznaczenia:

R1Lq7Um8d2KiH

Ilustracja przedstawia graniastosłup prawidłowy sześciokątny A B C D E F G H I J K L, gdzie wierzchołek G znajduje się nad A, wierzchołek H nad B, wierzchołek I nad C, wierzchołek J nad D, wierzchołek K nad E, wierzchołek L nad F. Na ilustracji zaznaczono także przekrój A C L J. Odcinek A L zawierający się w przekroju i  jest pod kątem beta do podstawy graniastosłupa. Wierzchołek K został połączony odcinkiem z wierzchołkami D i F. Powstał trójkąt równoramienny F D K. Z wierzchołka K upuszczono również wysokość K S na podstawę F D. Powstał trójkąt E S K. Przy wierzchołku S zaznaczono kąt alfa. Odcinek F A będący krawędzią podstawy ma długość osiem, odcinek F L będący wysokością bryły ma długość dziesięć, natomiast odcinek E S został oznaczony jako x.

Płaszczyzny przekrojów będą równoległe, jeśli miary kątów $\alpha$ i $\beta$ będą równe.

Obliczamy miarę kąta $\alpha$:

$x=\frac{1}{2}·8=4$ i $\mathrm{tg}\alpha =\frac{10}{4}$ a stąd: $\alpha \approx 68°$.

Wyznaczamy miarę kąta $\beta$:

$\mathrm{tg}\beta =\frac{10}{8}$, co daje: $\beta \approx 51°$.

Zatem płaszczyzny tych przekrojów nie są równoległe.

kąt pomiędzy dwiema półpłaszczyznami o wspólnym brzegu, składa się ze ścian kąta dwuściennego, jednego z obszarów zawartego pomiędzy tymi półpłaszczyznami i jego krawędzi będącej częścią wspólną półpłaszczyzn, które go tworzą

kąt powstały jako część wspólna kąta dwuściennego z płaszczyzną prostopadłą do krawędzi tego kąta