Skorzystaj z wzorów wyrażających pochodną iloczynu i pochodną ilorazu funkcji:

$\left(f\cdot g\right)'=f'\cdot g+f\cdot g'$,

$\left(\frac{f}{g}\right)'=\frac{f'\cdot g-f\cdot g'}{g^2}$, o ile $g\neq 0$.

Aby wyznaczyć pochodną funkcji $f$, korzystamy z wzoru na pochodną iloczynu funkcji. Otrzymamy $f'\left(x\right)=\left(8\sqrt{x^5}\cdot x^2\right)'=8\cdot\left(\sqrt{x^5}\cdot x^2\right)'=8\cdot\left(x^\frac52\cdot x^2\right)'=$ $=8\cdot\left(\left(x^\frac52\right)'\cdot x^2+x^\frac52\cdot\left(x^2\right)'\right)=8\cdot \left(\frac52\cdot x^{\frac52-1}\cdot x^2+\sqrt{x^5}\cdot 2x\right)=$ $=8\cdot \left(\frac52\cdot x^\frac32\cdot x^2+\sqrt{x^5}\cdot 2x\right)=8\cdot \left(\frac52\cdot x^\frac72+2x^\frac72\right)=36x^\frac72=36\sqrt{x^7}$.

Celem wyznaczenia pochodnej funkcji $g$ dla $x\ne 2$; skorzystamy z wzoru na pochodną ilorazu funkcji. Wówczas $g'\left(x\right)=\left(4\cdot\frac{x+2}{x-2}\right)'=4\cdot\left(\frac{x+2}{x-2}\right)'=4\cdot\frac{\left(x+2\right)'\cdot\left(x-2\right)-\left(x+2\right)\cdot\left(x-2\right)'}{\left(x-2\right)^2}=$ $=4\cdot\frac{1\cdot\left(x-2\right)-\left(x+2\right)\cdot 1}{\left(x-2\right)^2}=4\cdot\frac{x-2-x-2}{\left(x-2\right)^2}=-\frac{16}{\left(x-2\right)^2}$.

Skorzystaj z wzorów wyrażających pochodną iloczynu i pochodną ilorazu funkcji:

$\left(f\cdot g\right)'=f'\cdot g+f\cdot g'$,

$\left(\frac{f}{g}\right)'=\frac{f'\cdot g-f\cdot g'}{g^2}$, o ile $g\neq 0$.

Wyznaczymy pochodną funkcji $f$ dla $x>0$. W tym celu skorzystamy z wzoru na pochodną iloczynu funkcji. Wówczas $f'\left(x\right)=\left(x^8\cdot\ln x\right)'=\left(x^8\right)'\cdot\ln x+x^8\cdot\left(\ln x\right)'=$ $=8x^7\cdot\ln x+x^8\cdot \frac1{x}=8x^7\cdot\ln x+x^7 = x^7\cdot\left(8\ln x+1\right)$.

Aby wyznaczyć pochodną funkcji $g$ dla $x\ne k\pi (k\in \mathrm{\mathbb{Z}})$, skorzystamy z wzoru na pochodną ilorazu funkcji. Otrzymamy $g'\left(x\right)=\left(\frac{x^2}{\sin x}\right)'=\frac{\left(x^2\right)'\cdot\sin x-x^2\cdot\left(\sin x\right)'}{\sin^2 x}=\frac{2x\sin x-x^2\cos x}{\sin^2 x}$.