Przeczytaj

Na początek przypomnijmy wzory pochodnych wybranych funkcji elementarnych. Znasz już pochodną funkcji stałej oraz pochodną funkcji potęgowej o dowolnym wykładniku rzeczywistym. Ponadprogramowo przedstawimy jeszcze wzory pochodnych wybranych funkcji trygonometrycznych oraz pochodną logarytmu naturalnegologarytm naturalnylogarytmu naturalnego. Wzory wyrażające pochodne wymienionych wyżej funkcji prezentujemy w tabeli.

Wzór funkcji $y = f (x)$	Pochodna funkcji $y = f' (x)$	Uwagi
$f (x) = a$	$f' (x) = 0$	$a \in ℝ$
$f (x) = x^{α}$	$f' (x) = α \cdot x^{α - 1}$	$x \in ℝ$ , $α \in ℝ$
$f (x) = \ln x$	$f' (x) = \frac{1}{x^{}}$	$x > 0$
$f (x) = \sin x$	$f' (x) = \cos x$	$x \in ℝ$
$f (x) = \cos x$	$f' (x) = - \sin x$	$x \in ℝ$

Korzystać także będziemy z własności arytmetycznych pochodnej, które przypominamy w poniższym twierdzeniu.

Własności arytmetyczne pochodnej

Twierdzenie: Własności arytmetyczne pochodnej

Jeśli funkcje $f, g : A \to ℝ$ , gdzie $A \subset R$ , są różniczkowalnefunkcja różniczkowalnaróżniczkowalne w zbiorze $A$ , to istnieją również pochodne sumysuma funkcji $f + g$ sumy, różnicyróżnica funkcji $f - g$ różnicy, iloczynuiloczyn funkcji $f \cdot g$ iloczynu i ilorazuiloraz funkcji $\frac{f}{g}$ ilorazu tych funkcji oraz

${(f + g)}^{'} = f^{'} + g^{'}$ ,

${(f - g)}^{'} = f^{'} - g^{'}$ ,

${(f \cdot g)}^{'} = f^{'} \cdot g + f \cdot g^{'}$ ,

${(k \cdot f)}^{'} = k \cdot f^{'}$ , gdzie $k \in R$ ,

${(\frac{f}{g})}^{'} = \frac{f^{'} \cdot g - f \cdot g^{'}}{g^{2}}$ , przy czym $g \neq 0$ .

Wykorzystując wymienione wyżej własności oraz pochodne wybranych funkcji elementarnych, w szeregu przykładów wyznaczymy pochodne wybranych funkcji.

Przykład 1

Wyznaczymy pochodną funkcji $h (x) = 2 \sin x + 3 \sqrt[3]{x^{2}}$ dla $x \in R$ .

Rozwiązanie

Korzystając z wcześniejszego twierdzenia, wyznaczymy pochodną sumy funkcjipochodna sumy funkcji $f + g$ pochodną sumy funkcji:

$h^{'} (x) = {(2 \sin x + 3 \sqrt[3]{x^{2}})}^{'} = 2 \cdot {(\sin x)}^{'} + 3 \cdot {(x^{\frac{2}{3}})}^{'} =$ $= 2 \cos x + 3 \cdot \frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} = 2 \cos x + \frac{2}{\sqrt[3]{x}}$ .

Przykład 2

Wyznaczymy pochodną funkcji $h (x) = 5 \ln x - 7 \cos x$ dla $x > 0$ .

Rozwiązanie

Skorzystamy z wzoru na pochodną różnicy funkcjipochodna różnicy funkcji $f - g$ pochodną różnicy funkcji. Wówczas

$h^{'} (x) = {(5 \ln x - 7 \cos x)}^{'} = 5 \cdot {(\ln x)}^{'} - 7 \cdot {(\cos x)}^{'} =$ $= 5 \cdot \frac{1}{x} - 7 \cdot (- \sin x) = \frac{5}{x} + 7 \sin x$ .

Przykład 3

Wyznaczymy pochodną funkcji $h (x) = 15 \ln x \cdot \sqrt[5]{x^{8}}$ dla $x > 0$ .

Rozwiązanie

Korzystając z wzoru wyrażającego pochodną iloczynu funkcjipochodna iloczynu funkcji $f \cdot g$ pochodną iloczynu funkcji, otrzymamy:

$h^{'} (x) = {(15 \ln x \cdot \sqrt[5]{x^{8}})}^{'} = {(15 \ln x)}^{'} \cdot \sqrt[5]{x^{8}} + 15 \ln x \cdot {(\sqrt[5]{x^{8}})}^{'} =$ $= 15 \cdot {(\ln x)}^{'} \cdot \sqrt[5]{x^{8}} + 15 \ln x \cdot {(x^{\frac{8}{5}})}^{'} =$ $= 15 \cdot \frac{1}{x} \cdot \sqrt[5]{x^{8}} + 15 \ln x \cdot \frac{8}{5} x^{\frac{3}{5}} = 15 x^{\frac{3}{5}} + 24 \ln x \cdot x^{\frac{3}{5}} =$ $= \sqrt[5]{x^{3}} (15 + 24 \ln x)$ .

Przykład 4

Wyznaczymy pochodną funkcji $h (x) = \frac{3 \sin x}{x^{8}}$ dla $x \neq 0$ .

Rozwiązanie

Stosując wzór na pochodną ilorazu funkcjipochodna ilorazu funkcji $\frac{f}{g}$ pochodną ilorazu funkcji, dostaniemy

$h^{'} (x) = {(\frac{3 \sin x}{x^{8}})}^{'} = 3 \cdot {(\frac{\sin x}{x^{8}})}^{'} = 3 \cdot \frac{{(\sin x)}^{'} \cdot x^{8} - \sin x \cdot {(x^{8})}^{'}}{{(x^{8})}^{2}} =$ $= 3 \cdot \frac{\cos x \cdot x^{8} - \sin x \cdot 8 x^{7}}{x^{16}} = \frac{3 x^{7} (x \cos x - 8 \sin x)}{x^{16}} = \frac{3 (x \cos x - 8 \sin x)}{x^{9}}$ .

Przykład 5

Wyznaczymy pochodną funkcji $h (x) = \frac{4 x^{5} + 5 \cos x}{\sqrt[4]{x}}$ dla $x > 0$ .

Rozwiązanie

Wykorzystując powyższe własności pojęcia pochodnej, otrzymamy

$h^{'} (x) = {(\frac{4 x^{5} + 5 \cos x}{\sqrt[4]{x}})}^{'} = \frac{{(4 x^{5} + 5 \cos x)}^{'} \cdot \sqrt[4]{x} - (4 x^{5} + 5 \cos x) \cdot {(\sqrt[4]{x})}^{'}}{{(\sqrt[4]{x})}^{2}} =$ $= \frac{(20 x^{4} - 5 \sin x) \sqrt[4]{x} - (4 x^{5} + 5 \cos x) \cdot \frac{1}{4} x^{- \frac{3}{4}}}{{(x^{\frac{1}{4}})}^{2}} = \frac{20 x^{\frac{17}{4}} - 5 \sqrt[4]{x} \sin x - x^{\frac{17}{4}} - \frac{5}{4} x^{- \frac{3}{4}} \cos x}{x^{\frac{1}{2}}} =$ $= \frac{20 \sqrt[4]{x^{17}} - 5 \sqrt[4]{x} \sin x - \sqrt[4]{x^{17}} - \frac{5 \cos x}{4 \sqrt[4]{x^{3}}}}{\sqrt{x}} = \frac{4 \sqrt[4]{x^{3}} (20 \sqrt[4]{x^{17}} - 5 \sqrt[4]{x} \sin x - \sqrt[4]{x^{17}}) - 5 \cos x}{4 \sqrt[4]{x^{5}}}$ $= \frac{4 \sqrt[4]{x^{3}} (19 \sqrt[4]{x^{17}} - 5 \sqrt[4]{x} \sin x) - 5 \cos x}{4 \sqrt[4]{x^{5}}}$ .

Słownik

funkcja różniczkowalna

funkcja posiadająca pochodną w dowolnym punkcie swojej dziedziny

suma funkcji

f + g

suma funkcji

f + g

funkcja $f + g : A \to ℝ$ , $A \subset R$ , zdefiniowana jako

(f + g) (x) = f (x) + g (x)

dla wszystkich $x \in A$

różnica funkcji

f - g

różnica funkcji

f - g

funkcja $f - g : A \to ℝ$ , $A \subset R$ , zdefiniowana jako

(f - g) (x) = f (x) - g (x)

dla wszystkich $x \in A$

iloczyn funkcji

f \cdot g

iloczyn funkcji

f \cdot g

funkcja $f \cdot g : A \to ℝ$ , $A \subset R$ , zdefiniowana jako

(f \cdot g) (x) = f (x) \cdot g (x)

dla wszystkich $x \in A$

iloraz funkcji

\frac{f}{g}

iloraz funkcji

\frac{f}{g}

funkcja $\frac{f}{g} : A \to ℝ$ , $A \subset R$ , zdefiniowana jako

(\frac{f}{g}) (x) = \frac{f (x)}{g (x)}

dla wszystkich $x \in A$

pochodna sumy funkcji

f + g

pochodna sumy funkcji

f + g

pochodna postaci

{(f + g)}^{'} = f^{'} + g^{'}

pochodna różnicy funkcji

f - g

pochodna różnicy funkcji

f - g

pochodna postaci

{(f - g)}^{'} = f^{'} - g^{'}

pochodna iloczynu funkcji

f \cdot g

pochodna iloczynu funkcji

f \cdot g

pochodna postaci

{(f \cdot g)}^{'} = f^{'} \cdot g + f \cdot g^{'}

pochodna ilorazu funkcji

\frac{f}{g}

pochodna ilorazu funkcji

\frac{f}{g}

pochodna postaci

{(\frac{f}{g})}^{'} = \frac{f^{'} \cdot g - f \cdot g^{'}}{g^{2}},

przy czym $g \neq 0$

logarytm naturalny

logarytm, którego podstawą jest liczba $e$ . Wartość tej liczby można określić w przybliżeniu: $e \approx 2, 718281828 ...$ Jest ona granicą ciągu $\lim_{n \to \infty} {(1 + \frac{1}{n})}^{n}$

Wprowadzenie

Gra edukacyjna

Słownik