Przeczytaj

Na początek przypomnijmy wzory pochodnych wybranych funkcji elementarnych. Znasz już pochodną funkcji stałej oraz pochodną funkcji potęgowej o dowolnym wykładniku rzeczywistym. Ponadprogramowo przedstawimy jeszcze wzory pochodnych wybranych funkcji trygonometrycznych oraz pochodną logarytmu naturalnegologarytm naturalnylogarytmu naturalnego. Wzory wyrażające pochodne wymienionych wyżej funkcji prezentujemy w tabeli.

Wzór funkcji $y = f (x)$	Pochodna funkcji $y = f' (x)$	Uwagi
$f (x) = a$	$f' (x) = 0$	$a \in ℝ$
$f (x) = x^{α}$	$f' (x) = α \cdot x^{α - 1}$	$x \in ℝ$ , $α \in ℝ$
$f (x) = \ln x$	$f' (x) = \frac{1}{x}$	$x > 0$
$f (x) = \sin x$	$f' (x) = \cos x$	$x \in ℝ$
$f (x) = \cos x$	$f' (x) = - \sin x$	$x \in ℝ$

Korzystać także będziemy z własności arytmetycznych pochodnej, które przypominamy w poniższym twierdzeniu.

Własności arytmetyczne pochodnej

Twierdzenie: Własności arytmetyczne pochodnej

Jeśli funkcje $f, g : A \to ℝ$ , gdzie $A\subset\mathbb{R}$ , są różniczkowalnefunkcja różniczkowalnaróżniczkowalne w zbiorze $A$ , to istnieją również pochodne sumysuma funkcji $f+g$ sumy, różnicyróżnica funkcji $f−g$ różnicy, iloczynuiloczyn funkcji $f\cdot g$ iloczynu i ilorazuiloraz funkcji $\frac{f}{g}$ ilorazu tych funkcji oraz

$\left(f+g\right)'=f'+g'$ ,

$\left(f-g\right)'=f'-g'$ ,

$\left(f\cdot g\right)'=f'\cdot g +f\cdot g'$ ,

$\left(k\cdot f\right)'=k\cdot f'$ , gdzie $k\in\mathbb{R}$ ,

$\left(\frac{f}{g}\right)'=\frac{f'\cdot g-f\cdot g'}{g^2}$ , przy czym $g\neq 0$ .

Wykorzystując wymienione wyżej własności oraz pochodne wybranych funkcji elementarnych, w szeregu przykładów wyznaczymy pochodne wybranych funkcji.

Przykład 1

Wyznaczymy pochodną funkcji $h\left(x\right)=2\sin x+3\sqrt[3]{x^2}$ dla $x\in\mathbb{R}$ .

Rozwiązanie

Korzystając z wcześniejszego twierdzenia, wyznaczymy pochodną sumy funkcjipochodna sumy funkcji $f+g$ pochodną sumy funkcji:

$h'\left(x\right)=\left(2\sin x+3\sqrt[3]{x^2}\right)'=2\cdot \left(\sin x\right)'+ 3\cdot \left(x^{\frac23}\right)'=$ $=2\cos x +3\cdot\frac23 x^{-\frac13}=2\cos x+\frac{2}{\sqrt[3]{x}}$ .

Przykład 2

Wyznaczymy pochodną funkcji $h\left(x\right)=5\ln x-7\cos x$ dla $x\gt 0$ .

Rozwiązanie

Skorzystamy z wzoru na pochodną różnicy funkcjipochodna różnicy funkcji $f-g$ pochodną różnicy funkcji. Wówczas

$h'\left(x\right)=\left(5\ln x-7\cos x\right)'=5\cdot\left(\ln x\right)'-7\cdot\left(\cos x\right)'=$ $=5\cdot\frac{1}{x}-7\cdot\left(-\sin x\right)=\frac{5}{x}+7\sin x$ .

Przykład 3

Wyznaczymy pochodną funkcji $h\left(x\right)=15\ln x\cdot \sqrt[5]{x^8}$ dla $x\gt 0$ .

Rozwiązanie

Korzystając z wzoru wyrażającego pochodną iloczynu funkcjipochodna iloczynu funkcji $f\cdot g$ pochodną iloczynu funkcji, otrzymamy:

$h'\left(x\right)=\left(15\ln x\cdot \sqrt[5]{x^8}\right)' = \left(15\ln x\right)'\cdot \sqrt[5]{x^8}+15\ln x\cdot \left(\sqrt[5]{x^8}\right)'=$ $=15\cdot\left(\ln x\right)'\cdot\sqrt[5]{x^8} + 15\ln x\cdot\left(x^\frac85\right)'=$ $=15\cdot\frac{1}{x}\cdot \sqrt[5]{x^8} + 15\ln x\cdot \frac85 x^\frac35=15x^\frac35+24\ln x\cdot x^\frac35=$ $=\sqrt[5]{x^3}\left(15+24\ln x\right)$ .

Przykład 4

Wyznaczymy pochodną funkcji $h\left(x\right)=\frac{3\sin x}{x^8}$ dla $x\neq 0$ .

Rozwiązanie

Stosując wzór na pochodną ilorazu funkcjipochodna ilorazu funkcji $\frac{f}{g}$ pochodną ilorazu funkcji, dostaniemy

$h'\left(x\right)=\left(\frac{3\sin x}{x^8}\right)'=3\cdot\left(\frac{\sin x}{x^8}\right)'=3\cdot \frac{\left(\sin x\right)'\cdot x^8-\sin x\cdot\left(x^8\right)'}{\left(x^8\right)^2}=$ $=3\cdot \frac{\cos x\cdot x^8-\sin x\cdot 8x^7}{x^{16}}=\frac{3x^7\left(x\cos x-8\sin x\right)}{x^{16}}=\frac{3\left(x\cos x-8\sin x\right)}{x^9}$ .

Przykład 5

Wyznaczymy pochodną funkcji $h\left(x\right)=\frac{4x^5+5\cos x}{\sqrt[4]{x}}$ dla $x\gt 0$ .

Rozwiązanie

Wykorzystując powyższe własności pojęcia pochodnej, otrzymamy

$h'\left(x\right)=\left(\frac{4x^5+5\cos x}{\sqrt[4]{x}}\right)'=\frac{\left(4x^5+5\cos x\right)'\cdot \sqrt[4]{x}-\left(4x^5+5\cos x\right)\cdot \left(\sqrt[4]{x}\right)'}{\left(\sqrt[4]{x}\right)^2}=$ $=\frac{\left(20x^4-5\sin x\right)\sqrt[4]{x}-\left(4x^5+5\cos x\right) \cdot\frac14 x^{-\frac34}}{\left(x^\frac14\right)^2}=\frac{20x^\frac{17}{4}-5\sqrt[4]{x}\sin x-x^\frac{17}{4}-\frac54x^{-\frac34}\cos x}{x^\frac12}=$ $=\frac{20\sqrt[4]{x^{17}}-5\sqrt[4]{x}\sin x-\sqrt[4]{x^{17}}-\frac{5\cos x}{4\sqrt[4]{x^3}}}{\sqrt x}=\frac{4\sqrt[4]{x^3}\left(20\sqrt[4]{x^{17}}-5\sqrt[4]{x}\sin x-\sqrt[4]{x^{17}}\right)-5\cos x}{4\sqrt[4]{x^5}}$ $=\frac{4\sqrt[4]{x^3}\left(19\sqrt[4]{x^{17}}-5\sqrt[4]{x}\sin x\right)-5\cos x}{4\sqrt[4]{x^5}}$ .

Słownik

funkcja różniczkowalna

funkcja posiadająca pochodną w dowolnym punkcie swojej dziedziny

suma funkcji $f+g$

funkcja $f + g : A \to ℝ$ , $A\subset\mathbb{R}$ , zdefiniowana jako

$\left(f+g\right)\left(x\right)=f\left(x\right)+g\left(x\right)$

dla wszystkich $x\in A$

różnica funkcji $f-g$

funkcja $f - g : A \to ℝ$ , $A\subset\mathbb{R}$ , zdefiniowana jako

$\left(f-g\right)\left(x\right) =f\left(x\right)-g\left(x\right)$

dla wszystkich $x\in A$

iloczyn funkcji $f\cdot g$

funkcja $f \cdot g : A \to ℝ$ , $A\subset\mathbb{R}$ , zdefiniowana jako

$\left(f\cdot g\right)\left(x\right) =f\left(x\right)\cdot g\left(x\right)$

dla wszystkich $x\in A$

iloraz funkcji $\frac{f}{g}$

funkcja $\frac{f}{g} : A \to ℝ$ , $A\subset\mathbb{R}$ , zdefiniowana jako

$\left(\frac{f}{g}\right)\left(x\right) =\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}$

dla wszystkich $x\in A$

pochodna sumy funkcji $f+g$

pochodna postaci

$\left(f+g\right)'=f'+g'$

pochodna różnicy funkcji $f-g$

pochodna postaci

$\left(f-g\right)'=f'-g'$

pochodna iloczynu funkcji $f\cdot g$

pochodna postaci

$\left(f\cdot g\right)'=f'\cdot g+f\cdot g'$

pochodna ilorazu funkcji $\frac{f}{g}$

pochodna postaci

$\left(\frac{f}{g}\right)'=\frac{f'\cdot g-f\cdot g'}{g^2},$

przy czym $g\neq 0$

logarytm naturalny

logarytm, którego podstawą jest liczba $e$ . Wartość tej liczby można określić w przybliżeniu: $e \approx 2, 718281828 ...$ Jest ona granicą ciągu $\lim_{n \to \infty} {(1 + \frac{1}{n})}^{n}$

Wprowadzenie

Gra edukacyjna

Słownik