Zauważmy, że kąt środkowy wyznaczony przez dwa sąsiednie wierzchołki ośmiokąta foremnego ma miarę $45°$ oraz punkt styczności dzieli boki ośmiokąta na dwie równe części.

R1a5cNnM625NJ

Ilustracja przedstawia ośmiokąt foremny o boku 8, w który wpisano okrąg. Ze środka okręgu poprowadzono dwa promienie biegnące do środków dwóch sąsiadujących ze sobą boku ośmiokąta. Między promieniami zaznaczono kąt o mierze 45 stopni, a odległość między środkami tych dwóch boków oznaczono x - odległość ta domyka trójkąt równoramienny o bokach r, r oraz x.

Kąt wewnętrzny ośmiokąta foremnego ma miarę $135°$. Obliczymy $x$ z twierdzenia cosinusów:

$x^2=4^2+4^2-2·4·4·\cos 135°=16\left(2+\sqrt{2}\right)$.

Następnie znów skorzystamy z twierdzenia cosinusów

$x^2=r^2+r^2-2·r·r·\cos 45°$, więc

$16\left(2+\sqrt{2}\right)=r^2\left(2-\sqrt{2}\right)$.

Stąd $r^2=\frac{16\left(2+\sqrt{2}\right)}{2-\sqrt{2}}=\frac{16{\left(2+\sqrt{2}\right)}^2}{4-2}=8{\left(2+\sqrt{2}\right)}^2$ i ostatecznie $r=\sqrt{8{\left(2+\sqrt{2}\right)}^2}=\sqrt{8}\left(2+\sqrt{2}\right)=4\sqrt{2}+4=4\left(1+\sqrt{2}\right)$

Zauważmy, że do przedziału $\left(1,\frac{6}{2}\right)$ należy tylko liczba $2$, ale nie jest ona względnie pierwsza z liczbą wierzchołków sześciokąta.