Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

Ćwiczenie 1

Dany jest dziewięciokat foremny, taki jak na rysunku.

R12eH2zzYm06C

Ilustracja przedstawia dziewięciokąt foremny.

Wyznacz liczbę różnych dziewięciokątów foremnych gwiaździstych i skonstruuj te wielokąty, korzystając z dołączonego rysunku.

Liczbami całkowitymi z przedziału $(1, \frac{9}{2})$ , są liczby: $2$ , $3$ , $4$ . Liczba $3$ nie jest względnie pierwsza z liczbą $9$ . Liczby $2$ i $4$ są względnie pierwsze, dlatego mamy dwa wielokąty gwiaździste, które powstaną poprzez łączenia odpowiednio co drugiego i co czwartego z wierzchołków.

RbczlDh1ZVuAT1

Ćwiczenie 2

RkmMCRi21W7YO2

Ćwiczenie 3

RR4w54M9Un4RY2

Ćwiczenie 4

Ćwiczenie 5

Wyznacz miarę kąta sterczącego (kąta przy wierzchołku wielokąta gwiaździstego) w ośmiokącie foremnym gwiaździstym.

Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku.

R9i7DdUJd7PlH

Ilustracja przedstawia ośmiokąt foremny wpisany w okrąg. Kilka jego wierzchołków nazwano: górny lewy to wierzchołek R, dolny lewy P, sąsiadujący z nim dolny prawy S i sąsiadujący z nim prawy Q. W ośmiokącie poprowadzono ośmiokąt gwiaździsty. Czworokąt utworzony w wymienionych punktów jest deltoidem.

Zauważmy, że w szczególności czworokąt $P S Q R$ jest wpisany w okrąg. Kąt wewnętrzny ośmiokąta, w szczególności kąt $P S Q$ , ma miarę $180 ° - \frac{360 °}{8} = 135 °$ . Z twierdzenia o czworokącie wpisanym w okrąg wynika, że miara kąta sterczącego w ośmiokącie jest równa $180 ° - 135 ° = 45 °$ .

Ćwiczenie 6

Uzasadnij, że da się skonstruować wielokąt foremny o trzydziestu wierzchołkach.

Bez dowodu przyjmujemy, że da się skonstruować pięciokąt foremny i sześciokąt foremny. Zauważmy, że $30 = 5 \cdot 6$ oraz liczby $5$ i $6$ są względnie pierwsze.

Zatem teza postawiona w zadaniu wynika w szczególności z twierdzenia o konstrukcji wielokąta foremnego i liczbach względnie pierwszych.

Ćwiczenie 7

Oblicz różnicę miar kąta wewnętrznego dziesięciokąta foremnego i kąta sterczącego dziesięciokąta foremnego gwiaździstego.

Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku.

R19dk90dRqyir

Ilustracja przedstawia dziewięciokąt foremny, w którego wnętrzu narysowano dziesięciokąt gwiaździsty. Wybrano trzy wierzchołki, które nazwano kolejno: R, Q, P. Jeśli wierzchołek R oznaczymy jako pierwszy, to Q będzie wierzchołkiem czwartym, a P ósmym. Wierzchołki Q i P połączono odcinkiem narysowanym linią przerywaną.

Zauważmy, że kąt $P R Q$ jest kątem wpisanym w okrąg opisany na dziesięciokącie. Zauważmy, że cięciwa $P Q$ dzieli okrąg opisany w stosunku $4 : 6$ . Tym samym kąt $P R Q$ ma miarę $\frac{1}{2} \cdot (360 ° \cdot \frac{4}{10}) = 72 °$ . Z kolei kąt wewnętrzny dziesięciokąta ma miarę $180 ° - \frac{360 °}{10} = 144 °$ . Różnica tych miar jest równa: $72 °$ .

Ćwiczenie 8

Małe twierdzenie Fermata (MTF) orzeka, że dla dowolnej liczby naturalnej $n$ i dowolnej liczby pierwszej $p$ liczba $n^{p} - n$ dzieli się przez $p$ . Udowodnij, korzystając z MTF, że liczba $5^{10} - 1$ dzieli się przez $11$ .

Z MTF wynika w szczególności, że liczba $5^{11} - 5$ jest podzielna przez $11$ , czyli istnieje taka liczba naturalna $k$ , że $5^{11} - 5 = 11 k$ . Ale $5^{11} - 5 = 5 (5^{10} - 1)$ , stąd $5 (5^{10} - 1) = 11 k$ . Liczby $5$ i $11$ są względnie pierwsze, zatem liczba $11$ musi dzielić liczbę $5^{10} - 1$ .

Gra edukacyjna

Dla nauczyciela