Oblicz miary kątów między krótszymi przekątnymi wychodzącymi z jednego wierzchołka w graniastosłupie prawidłowym sześciokątnym, w którym wysokość jest $k$ razy dłuższa od krawędzi podstawy. Skorzystaj ze wzoru z podpunktu b) przykładu $3$ wiedząc,że:

1. $k=0,25\sqrt{3}$,

2. $k=8$.

Rozwiązanie

1. Dla $k=0,25\sqrt{3}$ mamy
   $\cos \alpha =\frac{3+2k^2}{2\left(3+k^2\right)}=\frac{3+2{\left(0,25\sqrt{3}\right)}^2}{2\left(3+{\left(0,25\sqrt{3}\right)}^2\right)}=\frac{3+2·0,1875}{2\left(3+0,1875\right)}=\frac{\mathrm{3,375}}{\mathrm{6,375}}\approx 0,5294$.
   Stąd $\alpha =58°$.

2. Dla $k=8$ mamy
   $\cos \alpha =\frac{3+2k^2}{2\left(3+k^2\right)}=\frac{3+2·8^2}{2\left(3+8^2\right)}=\frac{3+128}{2\left(3+64\right)}=\frac{131}{134}\approx 0,9776$.
   Stąd $\alpha =4°$ .