Udowodnij, że liczba $a=\sqrt{6+2\sqrt{5}}$ jest wymierna. Rozwiązanie. 1. Korzystając ze wzoru skróconego mnożenia, zapisujemy wyrażenie znajdujące się pod pierwszym pierwiastkiem w postaci kwadratu sumy liczb $1$ i  $\sqrt{5}$. $6+2\sqrt{5}=1+2\sqrt{5}+5=1+2·1·\sqrt{5}+{\left(\sqrt{5}\right)}^2={\left(1+\sqrt{5}\right)}^2$ 2. Postępując analogicznie, zapisujemy wyrażenie znajdujące się pod drugim pierwiastkiem w postaci kwadratu różnicy liczb $1$ i $\sqrt{5}$. $6+2\sqrt{5}=1-2\sqrt{5}+5=1-2·1·\sqrt{5}+{\left(\sqrt{5}\right)}^2={\left(1-\sqrt{5}\right)}^2$ 3. Wykorzystujemy postać kwadratu sumy i kwadratu różnicy przy zapisie liczby $a$. $a=\sqrt{6+2\sqrt{5}}-\sqrt{6-2\sqrt{5}}=\sqrt{{\left(1+\sqrt{5}\right)}^2}-\sqrt{{\left(1-\sqrt{5}\right)}^2}=$ 4. Korzystamy z poznanej własności wartości bezwzględnej $\sqrt{a^2}=\left|a\right|$. $=\left|1+\sqrt{5}\right|-\left|1-\sqrt{5}\right|=$ 5. Korzystając z definicji wartości bezwzględnej, zapisujemy wyrażenie bez użycia symbolu modułu. $=\left(1+\sqrt{5}\right)-\left(-1+\sqrt{5}\right)=$ 6. Doprowadzamy wyrażenie do najprostszej postaci. $=1+\sqrt{5}+1-\sqrt{5}=2$ 7. Wykazaliśmy, że $a=2$, więc liczba $a$ jest liczbą wymierną. Co kończy dowód. $a=2\in \mathbb{Q}$