Udowodnij, że liczba a, równa się, pierwiastek kwadratowy z sześć, plus, dwa pierwiastek kwadratowy z pięć koniec pierwiastka koniec pierwiastka jest wymierna. Rozwiązanie. 1. Korzystając ze wzoru skróconego mnożenia, zapisujemy wyrażenie znajdujące się pod pierwszym pierwiastkiem w postaci kwadratu sumy liczb jeden i  pierwiastek kwadratowy z pięć koniec pierwiastka. sześć, plus, dwa pierwiastek kwadratowy z pięć koniec pierwiastka, równa się, jeden, plus, dwa pierwiastek kwadratowy z pięć koniec pierwiastka, plus, pięć, równa się, jeden, plus, dwa, razy, jeden, razy, pierwiastek kwadratowy z pięć koniec pierwiastka, plus, nawias, pierwiastek kwadratowy z pięć koniec pierwiastka, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, nawias, jeden, plus, pierwiastek kwadratowy z pięć koniec pierwiastka, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego 2. Postępując analogicznie, zapisujemy wyrażenie znajdujące się pod drugim pierwiastkiem w postaci kwadratu różnicy liczb jeden i pierwiastek kwadratowy z pięć koniec pierwiastka. sześć, plus, dwa pierwiastek kwadratowy z pięć koniec pierwiastka, równa się, jeden, minus, dwa pierwiastek kwadratowy z pięć koniec pierwiastka, plus, pięć, równa się, jeden, minus, dwa, razy, jeden, razy, pierwiastek kwadratowy z pięć koniec pierwiastka, plus, nawias, pierwiastek kwadratowy z pięć koniec pierwiastka, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, nawias, jeden, minus, pierwiastek kwadratowy z pięć koniec pierwiastka, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego 3. Wykorzystujemy postać kwadratu sumy i kwadratu różnicy przy zapisie liczby a. a, równa się, pierwiastek kwadratowy z sześć, plus, dwa pierwiastek kwadratowy z pięć koniec pierwiastka koniec pierwiastka, minus, pierwiastek kwadratowy z sześć, minus, dwa pierwiastek kwadratowy z pięć koniec pierwiastka koniec pierwiastka, równa się, pierwiastek kwadratowy z nawias, jeden, plus, pierwiastek kwadratowy z pięć koniec pierwiastka, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego koniec pierwiastka, minus, pierwiastek kwadratowy z nawias, jeden, minus, pierwiastek kwadratowy z pięć koniec pierwiastka, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego koniec pierwiastka, równa się 4. Korzystamy z poznanej własności wartości bezwzględnej pierwiastek kwadratowy z a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego koniec pierwiastka, równa się, wartość bezwzględna z, a, koniec wartości bezwzględnej. równa się, wartość bezwzględna z, jeden, plus, pierwiastek kwadratowy z pięć koniec pierwiastka, koniec wartości bezwzględnej, minus, wartość bezwzględna z, jeden, minus, pierwiastek kwadratowy z pięć koniec pierwiastka, koniec wartości bezwzględnej, równa się 5. Korzystając z definicji wartości bezwzględnej, zapisujemy wyrażenie bez użycia symbolu modułu. równa się, nawias, jeden, plus, pierwiastek kwadratowy z pięć koniec pierwiastka, zamknięcie nawiasu, minus, nawias, minus, jeden, plus, pierwiastek kwadratowy z pięć koniec pierwiastka, zamknięcie nawiasu, równa się 6. Doprowadzamy wyrażenie do najprostszej postaci. równa się, jeden, plus, pierwiastek kwadratowy z pięć koniec pierwiastka, plus, jeden, minus, pierwiastek kwadratowy z pięć koniec pierwiastka, równa się, dwa 7. Wykazaliśmy, że a, równa się, dwa, więc liczba a jest liczbą wymierną. Co kończy dowód. a, równa się, dwa, należy do, Q