Przeczytaj

Zapoznaj się z przykładami. Jakie własności wartości bezwzględnej możesz zauważyć? Porównaj swoje wnioski z wyróżnionymi własnościami.

Przykład 1

Oblicz.

|5| = 5 > 0

|- 12| = 12 > 0

|0| = 0

Zauważ, że w każdym z przypadków otrzymujemy liczbę nieujemną.

Ważne!

|a| \geq 0, a \in ℝ

Przykład 2

Porównaj liczby $|a|$ i $|b|$ .

Zauważ, że $a$ i $b$ , to liczby przeciwne.

$a$	$b$	$\|a\|$	$\|b\|$
$- 4$	$4$	$4$	$4$
$8$	$- 8$	$8$	$8$
$\frac{1}{2}$	$- \frac{1}{2}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{2}$
$- \sqrt[3]{16}$	$\sqrt[3]{16}$	$\sqrt[3]{16}$	$\sqrt[3]{16}$

Zwróć uwagę, że liczby w trzeciej i czwartej kolumnie są takie same.

A zatem wartości bezwzględne liczb przeciwnych są równe.

Ważne!

|a| = |- a|, a \in ℝ

Przykład 3

Przeanalizuj przykłady. Skorzystaj ze znanych Ci własności pierwiastków

$\sqrt{a^{2}} = a$ , dla $a \geq 0$ ,
$\sqrt{a^{2}} = - a$ , dla $a < 0$ .

\sqrt{4^{2}} = 4 = |4|

\sqrt{{(- 4)}^{2}} = 4 = |- 4|

\sqrt{6^{2}} = |6| = 6

\sqrt{{(- \frac{5}{7})}^{2}} = |- \frac{5}{7}| = \frac{5}{7}

Na pewno widzisz, że w powyższych przykładach otrzymany wynik jest zawsze liczbą dodatnią. Przykłady te obrazują kolejną własność wartości bezwzględnej.

Jeśli liczba $x$ pod pierwiastkiem jest kwadratem pewnego wyrażenia $a$ , to pierwiastek z liczby $x$ jest wartością bezwzględną z liczby $a$ .

Ważne!

\sqrt{a^{2}} = |a|, a \in ℝ

Przykład 4

Oblicz wartość wyrażenia $\sqrt{{(2 - \sqrt{5})}^{2}}$ , korzystając z powyższej własności.

Korzystając z własności: $\sqrt{a^{2}} = |a|$ , otrzymujemy:

\sqrt{{(2 - \sqrt{5})}^{2}} = |2 - \sqrt{5}|

Wyrażenie w module jest ujemne (sprawdź to), a zatem korzystając z algebraicznej definicji własności bezwzględnej dla $a < 0$ , możemy zapisać:

\underset{2 - \sqrt{5} < 0}{\underset{⏟}{|2 - \sqrt{5}|}} = \sqrt{5} - 2

A zatem:

\sqrt{{(2 - \sqrt{5})}^{2}} = |2 - \sqrt{5}| = \sqrt{5} - 2

Ważne!

Wartość bezwzględna iloczynu liczbWartość bezwzględna iloczynu liczb $a$ i $b$ jest równa iloczynowi wartości bezwzględnych liczb $a$ i $b$ .

|a \cdot b| = |a| \cdot |b|; a \in ℝ, b \in ℝ

Przykład 5

Znajdź liczbę $x$ , spełniającą warunek $|4 x - 8| = 16$ .

Możemy tu skorzystać z własności modułu przedstawionej powyżej.

|a \cdot b| = |a| \cdot |b|; a \in ℝ, b \in ℝ

|4 x - 8| = 16

W liczbie pod modułem wyłączamy przed nawias liczbę $4$ .

|4 \cdot (x - 2)| = 16

Korzystając z powyższej własności zapisujemy moduł z iloczynu dwóch liczb, jako iloczyn dwóch modułów.

|4| \cdot |(x - 2)| = 16

Obliczamy wartość bezwzględną liczby $4$ .

4 \cdot |(x - 2)| = 16

Dzielimy obie strony równania przez $4$ .

4 \cdot |(x - 2)| = 16 |: 4

Otrzymujemy wyrażenie

|x - 2| = 4

Wiesz, że:

$4 = |4|$ lub $4 = |- 4|$

Stąd:

$x - 2 = 4$ lub $x - 2 = - 4$

A zatem:

$x = 6$ lub $x = - 2$ .

Ważne!

Wartość bezwzględna ilorazu liczbWartość bezwzględna ilorazu liczb $a$ i $b$ jest równa ilorazowi wartości bezwzględnych liczb $a$ i $b$ .

|\frac{a}{b}| = \frac{|a|}{|b|}; a \in ℝ, b \in ℝ / \{0\}

Przykład 6

Znajdź liczbę $x$ , spełniającą warunek $|\frac{x - 5}{2}| = 3$ .

Możemy tu skorzystać z własności modułu przedstawionej powyżej.

|\frac{a}{b}| = \frac{|a|}{|b|}; a \in ℝ, b \in ℝ / \{0\}

|\frac{x - 5}{2}| = 3

Korzystając z powyższej własności zapisujemy moduł z ilorazu dwóch liczb, jako iloraz dwóch modułów.

\frac{|x - 5|}{|2|} = 3

Obliczamy wartość bezwzględną liczby $2$ .

\frac{|x - 5|}{2} = 3

Mnożymy obie strony równania przez $2$ .

\frac{|x - 5|}{2} = 3 |\cdot 2

Otrzymujemy wyrażenie

|x - 5| = 6

Wiesz, że:

$6 = |6|$ lub $6 = |- 6|$

Stąd:

$x - 5 = 6$ lub $x - 5 = - 6$

A zatem:

$x = 11$ lub $x = - 1$ .

Słownik

wartość bezwzględna iloczynu liczb

a

b

wartość bezwzględna iloczynu liczb

a

b

iloczyn wartości bezwzględnych liczb $a$ i $b$

wartość bezwzględna ilorazu liczb

a

b

wartość bezwzględna ilorazu liczb

a

b

iloraz wartości bezwzględnych liczb $a$ i $b$

Wprowadzenie

Infografika

Słownik