Zapoznaj się z przykładami. Jakie własności wartości bezwzględnej możesz zauważyć? Porównaj swoje wnioski z wyróżnionymi własnościami.

Przykład 1

Oblicz.

5=5>0
-12=12>0
0=0

Zauważ, że w każdym z przypadków otrzymujemy liczbę nieujemną.

Ważne!
a0, a
Przykład 2

Porównaj liczby ab.

Zauważ, że ab, to liczby przeciwne.

a

b

a

b

-4

4

4

4

8

-8

8

8

12

-12

12

12

-163

163

163

163

Zwróć uwagę, że liczby w trzeciej i czwartej kolumnie są takie same.

A zatem wartości bezwzględne liczb przeciwnych są równe.

Ważne!
a=-a, a
Przykład 3

Przeanalizuj przykłady. Skorzystaj ze znanych Ci własności pierwiastków

  • a2=a, dla a0,

  • a2=-a, dla a<0.

42=4=4
-42=4=-4
62=6=6
-572=-57=57

Na pewno widzisz, że w powyższych przykładach otrzymany wynik jest zawsze liczbą dodatnią. Przykłady te obrazują kolejną własność wartości bezwzględnej.

Jeśli liczba x pod pierwiastkiem jest kwadratem pewnego wyrażenia a, to pierwiastek z liczby x jest wartością bezwzględną z liczby a.

Ważne!
a2=a, a
Przykład 4

Oblicz wartość wyrażenia 2-52, korzystając z powyższej własności.

Korzystając z własności:  a2=a, otrzymujemy:

2-52=2-5

Wyrażenie w module jest ujemne (sprawdź to), a zatem korzystając z algebraicznej definicji własności bezwzględnej dla a<0, możemy zapisać:

2-52-5<0=5-2

A zatem:

2-52=2-5=5 -2
Ważne!

Wartość bezwzględna iloczynu liczbwartość bezwzględna iloczynu liczb a i bWartość bezwzględna iloczynu liczb ab jest równa iloczynowi wartości bezwzględnych liczb ab.

a·b=a·b; a, b
Przykład 5

Znajdź liczbę x, spełniającą warunek 4x-8=16.

Możemy tu skorzystać z własności modułu przedstawionej powyżej.

a·b=a·b; a, b
4x-8=16

W liczbie pod modułem wyłączamy przed nawias liczbę 4.

4·x-2=16

Korzystając z powyższej własności zapisujemy moduł z iloczynu dwóch liczb, jako iloczyn dwóch modułów.

4·x-2=16

Obliczamy wartość bezwzględną liczby 4.

4·x-2=16

Dzielimy obie strony równania przez 4.

4·x-2=16 :4

Otrzymujemy wyrażenie

x-2=4

Wiesz, że:

4=4 lub 4=-4

Stąd:

x-2=4 lub x-2=-4

A zatem:

x=6 lub x=-2.

Ważne!

Wartość bezwzględna ilorazu liczbwartość bezwzględna ilorazu liczb a i bWartość bezwzględna ilorazu liczb ab jest równa ilorazowi wartości bezwzględnych liczb ab.

ab=ab;  a, b/0
Przykład 6

Znajdź liczbę x, spełniającą warunek x-52=3.

Możemy tu skorzystać z własności modułu przedstawionej powyżej.

ab=ab;  a, b/0
x-52=3

Korzystając z powyższej własności zapisujemy moduł z ilorazu dwóch liczb, jako iloraz dwóch modułów.

x-52=3

Obliczamy wartość bezwzględną liczby 2.

x-52=3

Mnożymy obie strony równania przez 2.

x-52=3 ·2

Otrzymujemy wyrażenie

x-5=6

Wiesz, że:

6=6 lub 6=-6

Stąd:

x-5=6 lub x-5=-6

A zatem:

x=11 lub x=-1.

Słownik

wartość bezwzględna iloczynu liczb a i b
wartość bezwzględna iloczynu liczb a i b

iloczyn wartości bezwzględnych liczb ab

wartość bezwzględna ilorazu liczb a i b
wartość bezwzględna ilorazu liczb a i b

iloraz wartości bezwzględnych liczb ab