Ilustracja interaktywna. Rozwiążemy nierówność $\left|x^3-1\right|<x^2+x+1$. Korzystając z definicji wartości bezwzględnej, otrzymujemy dwie nierówności: $x^3-1\ge 0$ oraz $x^3-1<0$. Zajmijmy się najpierw pierwszą nierównością. Wyznaczymy dziedzinę rozwiązania pierwszego warunku. Interesują nas takie $x$, dla których suma algebraiczna $x^3-1$ przyjmuje wartości większe lub równe zero., Aby rozwiązać nierówność, do obu stron dodajemy $-1$, otrzymując $x^3\ge 1$. Mamy zatem, że $x\ge 1$. Dziedziną funkcji jest więc zbiór $x\in ⟨1;\infty )$. Dla $x$ większego od $1$ wartość bezwzględna z sumy algebraicznej $x^3-1$ jest równa $x^3-1$., Rozwiązujemy nierówność z treści zadania, mając na uwadze wyznaczoną dziedzinę. Mamy więc $x^3-1<x^2+x+1$. Upraszczamy zapis. $x^3-x^2-x-2<0$. Rozwiążemy nierówność, doprowadzając do postaci iloczynowej metodą wyłączania wspólnego czynnika przed nawias. $x^3-2x^2+x^2-2x+x-2<0$. Zapisaliśmy równoważną nierówność. $x^2\left(x-2\right)+x\left(x-2\right)+\left(x-2\right)<0$. Wyłączamy wspólny czynnik przed nawias i otrzymujemy postać iloczynową nierówności. $\left(x^2+x+1\right)\left(x-2\right)<0$. Szukając miejsc zerowych, z pierwszego czynnika lewej strony nierówności mamy, że miejscem zerowym jest $x=2$, natomiast druga nierówność nie posiada miejsc zerowych, gdyż wyróżnik trójmianu kwadratowego jest w tym przypadku mniejszy od zera, zatem mamy brak rozwiązań dla drugiego czynnika lewej strony nierówności. Ilustracja rozwiązań przedstawia poziomą oś $X$, na której zaznaczono niezmalowanym kółkiem punkt $2$. N ilustracji narysowano przybliżono wykres wielomianu, który od minus nieskończoności do dwóch znajduje się pod osią, a od dwóch do plus nieskończoności biegnie nad osią. Fragment biegnący pod osią oznaczono minusami narysowanymi między osią a wykresem. Uwzględniając dziedzinę pierwszego warunku oraz zbiór rozwiązań nierówności, otrzymujemy rozwiązanie: $x\in \left(-\infty ;2\right)$ i $x\in D$, zatem ostatecznie otrzymujemy, że $x\in ⟨1;2)$., Teraz przejdziemy do rozpatrzenia drugiej wspomnianej na początku możliwości, mianowicie nierówności postaci $x^3-1<0$. Wyznaczymy dziedzinę rozwiązania drugiego warunku. Interesują nas takie $x$, dla których suma algebraiczna $x^3-1$ przyjmuje wartości mniejsze od zera., Dodając $mn>1$ do obu stron, otrzymujemy $x^3<1$, a stąd mamy $x<1$. Dziedzina jest w tym przypadku przedziałem $x\in \left(-\infty ;1\right)$. Dla $x$ mniejszego od $1$ wartość bezwzględna z sumy algebraicznej $x^3-1$ jest równa $-x^3+1$., Wracamy do nierówności z treści zadania i zapisujemy: $-x^3+1<x^2+x+1$. Upraszczamy nierówność. $-x^3-x^2-x<0$ Wyłączamy $-x$ przed nawias., $-x\left(x^2+x+1\right)<0$. Stąd otrzymujemy następujące miejsce zerowe $x=0$ z pierwszego czynnika lewej strony oraz brak miejsc zerowych z drugiego czynnika. Ilustracja rozwiązania przedstawia poziomą oś $X$ z zaznaczonym za pomocą niezamalowanej kropki punktem $0$. Na ilustracji narysowano przybliżony wykres wielomianu biegnący nad osią od minus nieskończoności do zera i biegnący pod osią od zera do plus nieskończoności. Część wykresu pod osią oznaczono jak minusami między osią a wykresem. Uwzględniając dziedzinę drugiego warunku oraz zbiór rozwiązań nierówności otrzymujemy rozwiązanie. $x\in \left(0;\infty \right)$ i $x\in D$, więc $x\in \left(0;1\right)$. Odpowiedź: Uwzględniając oba warianty dla modułu, ostatecznie otrzymujemy, że $x\in \left(0;2\right)$.