Nierównością wielomianową stopnia $n$ nazywamy każdą z nierówności  postaci:

$W\left(x\right)>0$ lub $W\left(x\right)\ge 0$ lub $W\left(x\right)<0$ lub $W\left(x\right)\le 0$

gdzie:
$W$ – jest wielomianem stopnia $n$.

Rozwiążemy nierówność $20x^4-5x^2<0$ metodą wyłączania wspólnego czynnika przed nawias.

$20x^4-5x^2<0$

Wyłączymy przed nawias wspólny czynnik.

$5x^2\left(4x^2-1\right)<0$

$5x^2\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)<0$

Otrzymaliśmy postać iloczynową nierówności.

Obliczymy teraz miejsca zerowe wielomianu $W\left(x\right)=5x^2\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)$.

$5x^2\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)=0$

$5x^2=0$ lub $2x-1=0$ lub $2x+1=0$

$x=0$ lub $x=\frac{1}{2}$ lub $x=-\frac{1}{2}$

Naszkicujemy wykres wielomianu $W\left(x\right)$. Zaczynając od prawej strony od góry (bo $a_4=20$). Pierwiastki $-\frac{1}{2}$ lub $\frac{1}{2}$ są pojedyncze, więc wykres wielomianu przecina oś $X$, natomiast $0$ jest podwójnym pierwiastkiem wielomianu, zatem wykres jest styczny do osi $X$.

R1HXtai8G3izS

Rysunek przedstawia poziomą oś $X$ z zaznaczonymi na niej liczbami: $-\frac{1}{2}; 0; \frac{1}{2}$. Liczby zaznaczono niezamalowanymi kółkami i poprowadzono przez nie wykres wielomianu tak, że od minus nieskończoności do minus jednej drugiej wykres znajduje się nad osią, w minus jednej drugiej przechodzi pod oś. Następnie wykres biegnie do zera, gdzie odbija się dalej biegnie pod osią aż do jednej drugiej, gdzie przebija nad oś. Fragmenty pod osią oznaczono minusami znajdującymi się między osią a wykresem.

Zbiorem rozwiązań nierówności jest $\left(-\frac{1}{2}, 0\right)\cup \left(0, \frac{1}{2}\right)$.

Rozwiążemy nierówność $x^5-3x^4+2x^3\le 0$.

Wyłączymy przed nawias jednomian $x^3$.

$x^3\left(x^2-3x+2\right)\le 0$

Wyznaczymy miejsca zerowe wielomianu $W\left(x\right)=x^3\left(x^2-3x+2\right)$.

$x^3\left(x^2-3x+2\right)=0$

$x^3=0$ lub $x^2-3x+2=0$

$x=0$ (potrójny pierwiastek)

Równanie $x^2-3x+2=0$ możemy rozwiązać korzystając ze wzorów Viete’a.

$∆=1$, natomiast $x_1·x_2=2$ i $x_1+x_2=3$.

Czyli $x_1=2$, $x_2=1$.

Pamiętając o krotności pierwiastków narysujemy wykres funkcji wielomianowej.

R2O3KG8wN7h3J

Rysunek przedstawia poziomą oś $X$ z zaznaczonymi na niej liczbami: $0; 1; 2$. Liczby zaznaczono zamalowanymi kółkami i poprowadzono przez nie wykres wielomianu tak, że od minus nieskończoności do minus jednej drugiej wykres znajduje się pod osią, w zerze przechodzi nad oś, dalej w jedynce wraca pod oś. Następnie wykres biegnie do dwójki, gdzie przebija nad oś. Fragmenty pod osią oznaczono minusami znajdującymi się między osią a wykresem.

Zbiorem rozwiązań nierówności jest $\left(-\infty , 0\right.⟩\cup ⟨1, 2⟩$.

Rozwiążemy nierówność $\left(x-3\right)\left(x^2-2\right)>\left(x-3\right)\left(x+1\right)$ wyłączając przed nawias wspólny czynnik.

$\left(x-3\right)\left(x^2-2\right)>\left(x-3\right)\left(x+1\right)$

$\left(x-3\right)\left(x^2-2\right)-\left(x-3\right)\left(x+1\right)>0$

$\left(x-3\right)\left[x^2-2-\left(x+1\right)\right]>0$

$\left(x-3\right)\left(x^2-x-3\right)>0$

$x-3=0$ lub $x^2-x-3=0$

$x=3$ lub $∆=1+4·3=13\Rightarrow \sqrt{∆}=\sqrt{13}$

$x_1=\frac{1-\sqrt{13}}{2}$

$x_2=\frac{1+\sqrt{13}}{2}$

R1FHzKvUconmh

Rysunek przedstawia poziomą oś $X$ z zaznaczonymi na niej liczbami: $\frac{1-\sqrt{13}}{2}, \frac{1-\sqrt{13}}{2}, 3$. Liczby zaznaczono niezamalowanymi kółkami i poprowadzono przez nie wykres wielomianu tak, że od minus nieskończoności do $\frac{1-\sqrt{13}}{2}$ wykres znajduje się pod osią, w punkcie $\frac{1-\sqrt{13}}{2}$ przechodzi nad oś, dalej w punkcie $\frac{1-\sqrt{13}}{2}$ wraca pod oś. Następnie wykres biegnie do trójki, gdzie przebija nad oś. Fragmenty nad osią oznaczono plusami znajdującymi się między osią a wykresem.

Zbiorem rozwiązań nierówności jest $\left(\frac{1-\sqrt{13}}{2}, \frac{1+\sqrt{13}}{2}\right)\cup \left(3, \infty \right)$.

Rozwiążemy nierówność $x^3-2x^2-4x+8\ge 0$.

W tej nierówności połączymy najpierw jednomiany w pary i wyłączymy wspólny czynnik przed nawias.

$x^2\left(x-2\right)-4·\left(x-2\right)\ge 0$

Sumę algebraiczną $\left(x-2\right)$ wyłączamy przed nawias.

$\left(x-2\right)\left(x^2-4\right)\ge 0$

Rozłożyliśmy lewą stronę nierówności na czynniki. Obliczymy teraz miejsca zerowe wielomianu.

$\left(x-2\right)\left(x^2-4\right)=0$

$\left(x-2\right)\left(x-2\right)\left(x+2\right)=0$

${\left(x-2\right)}^2\left(x+2\right)=0$

${\left(x-2\right)}^2=0$ lub $x+2=0$

$x=2$ (podwójny pierwiastek) lub $x=-2$

Szkicujemy wykres.

RivBWiS8aor8a

Rysunek przedstawia poziomą oś $X$ z zaznaczonymi na niej liczbami: $-2; 2$. Liczby zaznaczono zamalowanymi kółkami i poprowadzono przez nie wykres wielomianu tak, że od minus nieskończoności do minus dwa wykres znajduje się pod osią, w minus dwójce przechodzi nad oś, dalej w dwójce odbija się i biegnie nad osią do plus nieskończoności. Fragmenty nad osią oznaczono minusami znajdującymi się między osią a wykresem.

Zbiorem rozwiązań nierówności jest $\left.⟨-2, \infty \right)$.

każda z nierówności  postaci:

$W\left(x\right)>0$ lub $W\left(x\right)\ge 0$ lub $W\left(x\right)<0$ lub $W\left(x\right)\le 0$

gdzie:
$W$ – jest wielomianem stopnia $n$