Rozwiąż nierówność $\frac{{\left(2x+1\right)}^2}{4}-\frac{\left(\sqrt{3}x-2\right)\left(\sqrt{3}x+2\right)}{3}>1$. Podaj największą liczbę całkowitą, która nie spełnia tej nierówności. Zadanie rozwiązane jest w kolejnych etapach. Najpierw wykorzystamy wzory skróconego mnożenia. Podaną nierówność przedstawimy zatem w postaci: $\frac{4x^2+4x+1}{4}-\frac{3x^2-4}{3}>1$. Aby pozbyć się ułamków, pomnożymy obie strony równania przez dwanaście, która jest wspólną wielokrotnością mianowników, czyli liczb cztery i trzy. Otrzymamy: $3\left(4x^2+4x+1\right)-4\left(3x^2-4\right)>12$. W kolejnym kroku pozbędziemy się nawiasów, otrzymując: $12x^2+12x+3-12x^2+16>12$. Następnie obliczamy sumy wyrazów podobnych, otrzymując: $12x+19>12$. Z równania wyznaczamy niewiadomą X: $12x>12-19\Rightarrow 12x>-7\Rightarrow x>-\frac{7}{12}$. Pomocniczo możemy narysować poziomą oś $X$ na odcinku na przykład od minus czterech do pięciu i zaznaczyć przedział, do którego należy niewiadoma $x$, czyli przedział otwarty od minus siedmiu dwunastych do plus nieskończoności. Z rysunku odczytujemy największą liczbę całkowitą niespełniającą nierówności. Odpowiedź: Zbiorem rozwiązań nierówności jest zbiór otwarty od minus siedmiu dwunastych do plus nieskończoności, zatem największa liczba całkowita, która nie spełnia podanej nierówności to minus jeden.