Przeczytaj
Nierówności są w matematyce rodzajem relacji porządku między dwoma wyrażeniami, Mamy cztery podstawowe znaki, które określają nierówności. Załóżmy, że i są dowolnymi liczbami rzeczywistymi. Wtedy możemy ustalić między nimi pewną relację, mianowicie:
, jest to nierówność ostra (mocna), gdzie liczba jest większa od liczby ,
, jest to nierówność ostra (mocna), gdzie liczba jest mniejsza od liczby ,
, jest to nierówność nieostra (słaba), gdzie liczba jest większa od liczby b lub równa liczbie ,
, jest to nierówność nieostra (słaba), gdzie liczba jest mniejsza od liczby b lub równa liczbie .
W nierównościach wynikiem obliczeń nie jest na ogół konkretna liczba, jak w przypadku równań, a zbiór liczb, np.:
Zbiorem rozwiązań jest podzbiór zbioru liczb rzeczywistych, . Zauważmy, że do zbioru rozwiązań nierówności należą wszystkie liczby rzeczywiste, które ją spełniają.
Zasady dodawania/odejmowania, mnożenia/dzielenia oraz potęgowania/pierwiastkowania stronami obowiązują w nierównościach, podobnie jak w równościach, jednak z zastrzeżeniem, że jeśli mnożymy/dzielimy przez liczbę mniejszą od zera, to musimy zmienić znak nierówności na przeciwny, np.:
W dzisiejszej lekcji zajmiemy się rozwiązywaniem nierówności z wykorzystaniem znanych nam już wzorów skróconego mnożenia.
Rozwiążemy nierówność .
Zaczniemy od skorzystania ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat sumy dwóch wyrażeńkwadrat sumy dwóch wyrażeń. Należy pamiętać o kolejności wykonywania działań. Najpierw wykonujemy potęgowanie (czyli podnosimy wyrażenie w nawiasie do kwadratu), a następnie mnożymy otrzymaną sumę algebraiczna przez .
Redukujemy wyrazy podobne.
Dzielimy obie strony nierówności przez liczbę ujemną . Zmieniamy zatem znak nierówności na przeciwny.
Nierówność spełnia każda liczba należąca do przedziału .
Rozwiążemy nierówność .
Zastosujemy najpierw wzór skróconego mnożenia na kwadrat różnicy dwóch wyrażeń oraz wzór skróconego mnożenia na różnicę kwadratów dwóch wyrażeńróżnicę kwadratów dwóch wyrażeń.
Pozbędziemy się nawiasów.
Redukujemy wyrazy podobne i przekształcamy równoważnie nierówność, doprowadzając ją do najprostszej postaci.
Nierówność spełnia każda liczba należąca do przedziału .
Wykażemy, że rozwiązaniem nierówności jest każda dodatnia liczba rzeczywista.
Wykorzystamy wzory skróconego mnożenia.
Aby pozbyć się tych samych wyrazów, dodajemy do obu stron nierówności.
Wykazaliśmy zatem, że nierówność jest spełniona dla dowolnej liczby rzeczywistej dodatniej.
Obliczymy, dla jakich naturalnych wartości , wartość wyrażenia jest nie większa od wartości wyrażenia .
Najpierw zapiszemy nierówność opisującą warunki zadania. Pamiętajmy, że stwierdzenie „nie większa” oznacza, że wartość pierwszego wyrażenia musi być mniejsza od wartości drugiego wyrażenia lub równa tej wartości .
Obydwie strony nierówności mnożymy przez 6.
Zastosujemy teraz wzory skróconego mnożenia na kwadrat różnicy dwóch wyrażeńkwadrat różnicy dwóch wyrażeń i różnicę kwadratów dwóch wyrażeńróżnicę kwadratów dwóch wyrażeń.
Otrzymaliśmy tożsamość, czyli wartość wyrażenia jest nie większa od wartości wyrażenia dla każdej liczby naturalnej.