Przeczytaj

Nierówności są w matematyce rodzajem relacji porządku między dwoma wyrażeniami, Mamy cztery podstawowe znaki, które określają nierówności. Załóżmy, że $a$ i $b$ są dowolnymi liczbami rzeczywistymi. Wtedy możemy ustalić między nimi pewną relację, mianowicie:

$a > b$ , jest to nierówność ostra (mocna), gdzie liczba $a$ jest większa od liczby $b$ ,
$a < b$ , jest to nierówność ostra (mocna), gdzie liczba $a$ jest mniejsza od liczby $b$ ,
$a \geq b$ , jest to nierówność nieostra (słaba), gdzie liczba $a$ jest większa od liczby b lub równa liczbie $b$ ,
$a \leq b$ , jest to nierówność nieostra (słaba), gdzie liczba $a$ jest mniejsza od liczby b lub równa liczbie $b$ .

W nierównościach wynikiem obliczeń nie jest na ogół konkretna liczba, jak w przypadku równań, a zbiór liczb, np.:

5 x \leq 15 : 5

x \leq 3

Zbiorem rozwiązań jest podzbiór zbioru liczb rzeczywistych, $x \in (- \infty, 3 ⟩$ . Zauważmy, że do zbioru rozwiązań nierówności należą wszystkie liczby rzeczywiste, które ją spełniają.

Zasady dodawania/odejmowania, mnożenia/dzielenia oraz potęgowania/pierwiastkowania stronami obowiązują w nierównościach, podobnie jak w równościach, jednak z zastrzeżeniem, że jeśli mnożymy/dzielimy przez liczbę mniejszą od zera, to musimy zmienić znak nierówności na przeciwny, np.:

- 2 x < 8 : (- 2)

x > - 4 .

W dzisiejszej lekcji zajmiemy się rozwiązywaniem nierówności z wykorzystaniem znanych nam już wzorów skróconego mnożenia.

Przykład 1

Rozwiążemy nierówność $- {(x + 2)}^{2} \leq 2 - x^{2} - x$ .

Zaczniemy od skorzystania ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat sumy dwóch wyrażeńkwadrat sumy dwóch wyrażeń $a$ i $b$ kwadrat sumy dwóch wyrażeń. Należy pamiętać o kolejności wykonywania działań. Najpierw wykonujemy potęgowanie (czyli podnosimy wyrażenie w nawiasie do kwadratu), a następnie mnożymy otrzymaną sumę algebraiczna przez $(- 1)$ .

- (x^{2} + 4 x + 4) \leq 2 - x^{2} - x

- x^{2} - 4 x - 4 \leq 2 - x^{2} - x

- x^{2} + x^{2} - 4 x + x \leq 2 + 4

Redukujemy wyrazy podobne.

- 3 x \leq 6

Dzielimy obie strony nierówności przez liczbę ujemną $(- 3)$ . Zmieniamy zatem znak nierówności na przeciwny.

- 3 x \leq 6 | : (- 3)

x \geq - 2

Nierówność spełnia każda liczba należąca do przedziału $⟨ - 2, \infty)$ .

Przykład 2

Rozwiążemy nierówność $2 {(x - 1)}^{2} > x^{2} - (1 - x) (1 + x)$ .

Zastosujemy najpierw wzór skróconego mnożenia na kwadrat różnicy dwóch wyrażeń oraz wzór skróconego mnożenia na różnicę kwadratów dwóch wyrażeńróżnicę kwadratów dwóch wyrażeń.

2 (x^{2} - 2 x + 1) > x^{2} - (1 - x^{2})

Pozbędziemy się nawiasów.

2 x^{2} - 4 x + 2 > x^{2} - 1 + x^{2}

Redukujemy wyrazy podobne i przekształcamy równoważnie nierówność, doprowadzając ją do najprostszej postaci.

2 x^{2} - 4 x + 2 > 2 x^{2} - 1

- 4 x + 2 > - 1

- 4 x > - 3

x < \frac{3}{4}

Nierówność spełnia każda liczba należąca do przedziału $(- \infty, \frac{3}{4})$ .

Przykład 3

Wykażemy, że rozwiązaniem nierówności $(3 x - 1) (3 x + 1) - 8 x^{2} > {(x - 3)}^{2} - 10$ jest każda dodatnia liczba rzeczywista.

(3 x - 1) (3 x + 1) - 8 x^{2} > {(x - 3)}^{2} - 10

Wykorzystamy wzory skróconego mnożenia.

9 x^{2} - 1 - 8 x^{2} > x^{2} - 6 x + 9 - 10

Aby pozbyć się tych samych wyrazów, dodajemy $1$ do obu stron nierówności.

x^{2} - 1 > x^{2} - 6 x - 1

6 x > 0

x > 0

Wykazaliśmy zatem, że nierówność jest spełniona dla dowolnej liczby rzeczywistej dodatniej.

Przykład 4

Obliczymy, dla jakich naturalnych wartości $x$ , wartość wyrażenia $\frac{x}{3} + \frac{{(3 x - 1)}^{2}}{6} - 3 x^{2}$ jest nie większa od wartości wyrażenia $\frac{{(2 - x)}^{2}}{6} - \frac{5 (x - 2) (x + 2)}{3}$ .

Najpierw zapiszemy nierówność opisującą warunki zadania. Pamiętajmy, że stwierdzenie „nie większa” oznacza, że wartość pierwszego wyrażenia musi być mniejsza od wartości drugiego wyrażenia lub równa tej wartości .

$\frac{x}{3} + \frac{{(3 x - 1)}^{2}}{6} - 3 x^{2} \leq \frac{{(2 - x)}^{2}}{6} - \frac{5 (x - 2) (x + 2)}{3}$

Obydwie strony nierówności mnożymy przez 6.

$6 \cdot \frac{x}{3} + 6 \cdot \frac{{(3 x - 1)}^{2}}{6} - 6 \cdot 3 x^{2} \leq 6 \cdot \frac{{(2 - x)}^{2}}{6} - 6 \cdot \frac{5 (x - 2) (x + 2)}{3}$

$2 x + {(3 x - 1)}^{2} - 18 x^{2} \leq {(2 - x)}^{2} - 10 (x - 2) (x + 2)$

Zastosujemy teraz wzory skróconego mnożenia na kwadrat różnicy dwóch wyrażeńkwadrat różnicy dwóch wyrażeń i różnicę kwadratów dwóch wyrażeńróżnicę kwadratów dwóch wyrażeń.

$2 x + 9 x^{2} - 6 x + 1 - 18 x^{2} \leq 4 - 4 x + x^{2} - 10 (x^{2} - 4)$

$- 9 x^{2} - 4 x + 1 \leq 4 - 4 x + x^{2} - 10 x^{2} + 40$

$- 9 x^{2} - 4 x + 1 \leq - 9 x^{2} - 4 x + 44$

$1 \leq 44$

Otrzymaliśmy tożsamość, czyli wartość wyrażenia $\frac{x}{3} + \frac{{(3 x - 1)}^{2}}{6} - 3 x^{2}$ jest nie większa od wartości wyrażenia $\frac{{(2 - x)}^{2}}{6} - \frac{5 (x - 2) (x + 2)}{3}$ dla każdej liczby naturalnej.

Słownik

kwadrat sumy dwóch wyrażeń

a

b

kwadrat sumy dwóch wyrażeń

a

b

${(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$

kwadrat różnicy dwóch wyrażeń

a

b

kwadrat różnicy dwóch wyrażeń

a

b

${(a - b)}^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}$

różnica kwadratów dwóch wyrażeń

a

b

różnica kwadratów dwóch wyrażeń

a

b

$a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)$

Wprowadzenie

Infografika

Słownik