Infografika

Polecenie 1

Zapoznaj się z infografiką, a następnie wykonaj polecenia.

Rybr5iwPatyNJ1

Pojawia się infografika. Napis, udowodnimy, że dla kątów alfa, beta, gamma trójkąta ostrokątnego zachodzi tożsamość

\tan α + \tan β + \tan γ = \tan α \cdot \tan β \cdot \tan γ

. Dowód. Kąty

α

β

γ

są kątami ostrymi, zatem tangensy tych kątów mają sens. Zatem,

L = \tan α + \tan β + \tan γ =

. Korzystając z zależności

α + β + γ = 180 °

zapiszmy, że

γ = 180 ° - (α + β)

. To równa się

L = \tan α + \tan β + \tan [180 ° - (α - β)] =

. Korzystamy ze wzoru redukcyjnego.

\tan α + \tan β + \tan (α + β) =

. Korzystamy ze wzoru na tangens sumy argumentów

α + β

\tan α + \tan β + \frac{\tan α + \tan β}{1 - \tan α \tan β} =

. przed nawias.

(\tan α + \tan β) (1 - \frac{1}{1 - \tan α \tan β}) =

. Sprowadzamy wyrażenia do wspólnego mianownika.

(\tan α + \tan β) (\frac{- \tan α \tan β}{1 - \tan α \tan β}) =

. Korzystamy z przemienności mnożenia.

(- \tan α \tan β) (\frac{\tan α + \tan β}{1 - \tan α \tan β}) =

. Korzystamy ze wzoru na tangens sumy argumentów

α + β

(- \tan α \tan β) \tan (α + β) =

. Zapisujemy

α + β = 180 ° - γ

(- \tan α \tan β) \tan (180 ° + γ) =

. >. Korzystamy ze wzoru redukcyjnego.

\tan α \cdot \tan β \cdot \tan γ = P

. Zakończyliśmy dowód tożsamości.

Polecenie 2

Udowodnij, że dla kątów trójkąta ostrokątnego $α$ , $β$ , $γ$ zachodzi tożsamość: $\frac{1}{tg α tg β} + \frac{1}{tg β tg γ} + \frac{1}{tg γ tg α} = 1$ .

Tożsamość udowodnioną w infografice

$tg α + tg β + tg γ = tg α \cdot tg β \cdot tg γ$

dzielimy stronami przez $tg α \cdot tg β \cdot tg γ$ i otrzymujemy tezę.

Polecenie 3

Udowodnij, że dla kątów trójkąta $2 α$ , $2 β$ , $2 γ$ prawdziwa jest tożsamość: $tg α \cdot tg β + tg β \cdot tg γ + tg γ \cdot tg α = 1$

Korzystamy z własności kątów trójkąta $γ = 90 ° - (α + β)$ i ze wzoru redukcyjnego:

$L = tg α \cdot tg β + tg β \cdot tg γ + tg γ \cdot tg α =$

$= tg α \cdot tg β + (tg β + tg α) tg γ =$

$= tg α \cdot tg β + (tg β + tg α) \cdot tg (90 ° - (α + β)) =$

$= tg α \cdot tg β + (tg β + tg α) \frac{1}{tg (α + β)}$

Korzystamy ze wzoru na tangens sumy argumentów:

$tg α \cdot tg β + (tg β + tg α) \frac{1 - tg α tg β}{tg α + tg β} =$
$= tg α \cdot tg β + 1 - tg α tg β = 1 = P$ .

To kończy dowód.

Przeczytaj

Sprawdź się