Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

R13JrVxNW8LJS1

Ćwiczenie 1

RFLa0S9bmO0gB1

Ćwiczenie 2

RnFzJ85O9LhF52

Ćwiczenie 3

RekTpgOd4dH0H2

Ćwiczenie 4

RnIJkO0AekZYC2

Ćwiczenie 5

Rw5aAIrZLkIs12

Ćwiczenie 6

Poniżej przedstawiono dowód tożsamości trygonometrycznej

\cos^{2} (\frac{π}{2} - α) - \sin (\frac{2 π}{3} - α) \cdot \sin (α - \frac{π}{3}) = \frac{3}{4}

. Uporządkuj ten dowód zakładając, że dowód prowadzimy od strony lewej do prawej. Elementy do uszeregowania: 1.

= \frac{3}{4} (\sin^{2} α + \cos^{2} α) =

, 2.

= \sin^{2} α - (\frac{\sqrt{3}}{2} \cos α + \frac{1}{2} \sin α) (\frac{1}{2} \sin α - \frac{\sqrt{3}}{2} \cos α) =

, 3.

\cos^{2} (\frac{π}{2} - α) - \sin (\frac{2 π}{3} - α) \cdot \sin (α - \frac{π}{3}) =

, 4.

= \sin^{2} α - (\sin \frac{2 π}{3} \cos α - \cos \frac{2 π}{3} \sin α) (\sin α \cos \frac{π}{3} - \cos α \sin \frac{π}{3}) =

, 5.

= \frac{3}{4}

, 6.

= \sin^{2} α - (\frac{1}{4} \sin^{2} α - \frac{3}{4} \cos^{2} α) =

Ćwiczenie 7

Udowodnij, że jeżeli $α$ , $β$ , $γ$ są kątami trójkąta, to równość

$\sin^{2} γ + 2 \sin α \sin β \cos γ = \sin^{2} α + \sin^{2} β$

jest tożsamością.

Ponieważ $γ = 180 ° - (α + β)$ , zatem:

$L = \sin^{2} (π - α - β) + 2 \sin α \sin β \cos (π - α - β) =$

$= \sin^{2} (α + β) - 2 \sin α \sin β \cos (α + β) =$

Korzystamy ze wzoru na sinus i cosinus sumy:

$= {(\sin α \cos β + \cos α \sin β)}^{2} - 2 \sin α \sin β (\cos α \cos β - \sin α \sin β) =$

$= \sin^{2} α \cos^{2} β + \cos^{2} α \sin^{2} β + 2 \sin α \cos β \cos α \sin β - 2 \sin α \sin β \cos α \cos β + 2 \sin^{2} α \sin^{2} β =$

$= \sin^{2} α \cos^{2} β + \cos^{2} α \sin^{2} β + 2 \sin^{2} α \sin^{2} β =$

$= \sin^{2} α (1 - \sin^{2} β) + (1 - \sin^{2} α) \sin^{2} β + 2 \sin^{2} α \sin^{2} β = \sin^{2} α + \sin^{2} β = P$

co kończy dowód tożsamości.

Ćwiczenie 8

Udowodnij, że równość

$\frac{\sin α + 2 \sin (\frac{π}{3} - α)}{2 \cos (\frac{π}{6} - α) - \sqrt{3} \cos α} = \frac{\sqrt{3}}{tg α}$

jest tożsamością.

$L = \frac{\sin α + 2 \sin (\frac{π}{3} - α)}{2 \cos (\frac{π}{6} - α) - \sqrt{3} \cos α} =$

Korzystamy ze wzoru na sinus i cosinus różnicy:

$= \frac{\sin α + 2 \sin \frac{π}{3} \cdot \cos α - 2 \cos \frac{π}{3} \cdot \sin α}{2 \cos \frac{π}{6} \cdot \cos α + 2 \sin \frac{π}{6} \cdot \sin α - \sqrt{3} \cos α} =$

$= \frac{\sin α + \sqrt{3} \cos α - \sin α}{\sqrt{3} \cos α + \sin α - \sqrt{3} \cos α} =$

$= \frac{\sqrt{3} \cos α}{\sin α} = \frac{\sqrt{3}}{tg α} = P$

co kończy dowód tożsamości.

Infografika

Dla nauczyciela