Przeczytaj
Na początek przypomnimy wszystkie wzory, z których będziemy korzystać.
Dla dowolnych , zachodzą następujące wzory:
,
,
,
.
Dla dowolnych liczb rzeczywistych , spełniających warunki , , , gdzie , zachodzi wzór:
.
Dla dowolnych liczb rzeczywistych , spełniających warunki , , , gdzie , zachodzi wzór:
.
Tożsamością trygonometrycznąTożsamością trygonometryczną nazywamy równość, która jest prawdziwa dla wszystkich argumentów, dla których ma sens.
Na tej lekcji pokażemy przykłady tożsamości, które możemy udowodnić korzystając ze wzorów na sinus, cosinus, tangens sumy i różnicy argumentów.
Zacznijmy od zadania:
Udowodnimy tożsamość .
Dowód każdej tożsamości rozpoczynamy od zapisania założeń, czyli wskazania elementów, dla których równość ma sens. W przypadku tego przykładu mamy: i .
W trakcie dowodu okaże się, że oba warunki oznaczają to samo.
Dowód tożsamości zwykle rozpoczynamy od tej strony, która jest bardziej skomplikowana. Jest zgodne z zasadą, że łatwiej upraszczać coś skomplikowanego, niż komplikować coś prostego.
Zatem rozpoczniemy dowód od przekształcenia lewej strony. Wykorzystamy wzory na sinus i cosinus sumy i różnicy argumentów:
.
Zatem , co kończy dowód.
Udowodnimy, że .
To szczególny typ tożsamości. Jest to związek między dwoma wielkościami liczbowymi.
Jak udowodnić tę tożsamość korzystając ze wzorów na funkcje trygonometryczne sumy argumentów? Zauważmy, że możemy zapisać kąty z zadania jako:
i , czyli sumy charakterystycznego kąta i dobrze znanych kątów i .
Teraz dokonajmy przekształceń:
,
co kończy dowód tożsamości.
Udowodnimy tożsamość: .
Zauważmy, że to tożsamość z dwoma zmiennymi.
Zacznijmy od założeń: , .
Dowód tożsamości rozpoczniemy od przekształcania lewej strony równości:
,
co kończy dowód tożsamości.
Udowodnimy tożsamość:
.
Zapiszmy założenie:
.
Rozpoczniemy przekształcanie od lewej strony rozpisując i z wykorzystaniem wzoru na sinus sumy oraz różnicy argumentów:
.
A to kończy dowód tożsamości.
Udowodnimy tożsamość: .
Zapiszmy założenia: i .
Skorzystajmy z definicji funkcji tangens:
Zapiszmy inaczej wyrażenie:
.
Analogicznie przekształcamy:
.
.
Po wykorzystaniu powyższych przekształceń otrzymujemy:
.
Zatem , co kończy dowód.
Słownik
równość, która jest prawdziwa dla wszystkich argumentów, dla których ma sens.