Wróć do informacji o e-podręczniku Wydrukuj Zapisz jako PDF Udostępnij materiał

Na początek przypomnimy wszystkie wzory, z których będziemy korzystać.

funkcje trygonometryczne sumy i różnicy argumentów
Twierdzenie: funkcje trygonometryczne sumy i różnicy argumentów

Dla dowolnych x,y zachodzą następujące wzory:

  1. sin(x+y)=sinxcosy+cosxsiny,

  2. sin(x-y)=sinx·cosy-cosx·siny,

  3. cos(x+y)=cosx·cosy-sinx·siny,

  4. cos(x-y)=cosx·cosy+sinx·siny.

Dla dowolnych liczb rzeczywistych x,y spełniających warunki xπ2+kπ, yπ2+kπ, x+yπ2+kπ, gdzie k, zachodzi wzór:

  1. tg(x+y)=tgx+tgy1-tgx·tgy.

Dla dowolnych liczb rzeczywistych x,y spełniających warunki xπ2+kπ, yπ2+kπ, x-yπ2+kπ, gdzie k, zachodzi wzór:

  1. tg(xy)=tgxtgy1+tgxtgy.

Tożsamością trygonometrycznątożsamość trygonometrycznaTożsamością trygonometryczną nazywamy równość, która jest prawdziwa dla wszystkich argumentów, dla których ma sens.

Na tej lekcji pokażemy przykłady tożsamości, które możemy udowodnić korzystając ze wzorów na sinus, cosinus, tangens sumy i różnicy argumentów.

Zacznijmy od zadania:

Przykład 1

Udowodnimy tożsamość sin45°+α-cos45°+αsin45°+α+cos45°+α=tgα.

Dowód każdej tożsamości rozpoczynamy od zapisania założeń, czyli wskazania elementów, dla których równość ma sens. W przypadku tego przykładu mamy: sin45°+α+cos45°+α0cosα0.

W trakcie dowodu okaże się, że oba warunki oznaczają to samo.

Dowód tożsamości zwykle rozpoczynamy od tej strony, która jest bardziej skomplikowana. Jest zgodne z zasadą, że łatwiej upraszczać coś skomplikowanego, niż komplikować coś prostego.

Zatem rozpoczniemy dowód od przekształcenia lewej strony. Wykorzystamy wzory na sinus i cosinus sumy i różnicy argumentów:

L=sin45°+α-cos45°+αsin45°+α+cos45°+α=

=sin45°cosα+cos45°sinα-cos45°cosα+sin45°sinαsin45°cosα+cos45°sinα+cos45°cosα-sin45°sinα=

=22cosα+22sinα-22cosα+22sinα22cosα+22sinα+22cosα-22sinα=

=2sinα2cosα=tgα=P.

Zatem L=P, co kończy dowód.

Przykład 2

Udowodnimy, że sin44°+cos74°2cos14°+2sin104°=14.

To szczególny typ tożsamości. Jest to związek między dwoma wielkościami liczbowymi.

Jak udowodnić tę tożsamość korzystając ze wzorów na funkcje tygonometryczne sumy argumentów? Zauważmy, że możemy zapisać kąty z zadania jako:

44°=30°+14°74°=60°+14°, czyli sumy charakterystycznego kąta 14° i dobrze znanych kątów 30°60°.

Teraz dokonajmy przekształceń:

L=sin44°+cos74°2cos14°+2sin104°=sin(30°+14°)+cos(60°+14°)2cos14°+2cos14°=

=sin30cos14+cos30sin14+cos60cos14sin60sin144cos14=

=12cos14°+32sin14°+12cos14°-32sin14°4cos14°=

=cos14°4cos14°=14=P,

co kończy dowód tożsamości.

Przykład 3

Udowodnimy tożsamość: tgα+tgβ=sin(α+β)cosαcosβ.

Zauważmy, że to tożsamość z dwoma zmiennymi.

Zacznijmy od założeń: cosα0,cosβ0.

Dowód tożsamości rozpoczniemy od przekształcania lewej strony równości:

L=tgα+tgβ=sinαcosα+sinβcosβ=

=sinαcosβ+sinβcosαcosαcosβ=sin(α+β)cosαcosβ=P,

co kończy dowód tożsamości.

Przykład 4

Udowodnimy tożsamość:

2cosα-2sinπ4-α2sinπ3+α-3cosα=2.

Zapiszmy założenie:

2sinπ3+α-3cosα0.

Rozpoczniemy przekształcanie od lewej strony rozpisując sinπ4-αsinπ3+α z wykorzystaniem wzoru na sinus sumy oraz różnicy argumentów:

L=2cosα2sin(π4α)2sin(π3+α)3cosα=

=2cosα-2sinπ4·cosα+2cosπ4·sinα2sinπ3·cosα+2sinα·cosπ3-3cosα=

=2cosα-2cosα+2sinα3cosα+sinα-3cosα=2sinαsinα=2=P.

A to kończy dowód tożsamości.

Przykład 5

Udowodnimy tożsamość: (1+tg2α)·cosπ4+2α1-tg2α=cosπ4-2α.

Zapiszmy założenia: 1-tg2α0cos2α0.

Skorzystajmy z definicji funkcji tangens:

L=(1+tg2α)·cosπ4+2α1-tg2α=

=1+sin2αcos2α·cosπ4+2α1-sin2αcos2α=

=(cos2α+sin2α)·cosπ4+2αcos2α-sin2α=(*)

Zapiszmy inaczej wyrażenie:

cos2α+sin2α=222cos2α+22sin2α=

=2cosπ4cos2α+sinπ4sin2α=2cosπ4-2α.

Analogicznie przekształcamy:

cos2α-sin2α=222cos2α-22sin2α=.

=2cosπ4cos2α-sinπ4sin2α=2cosπ4+2α.

Po wykorzystaniu powyższych przekształceń otrzymujemy:

(*)=2cosπ4-2αcosπ4+2α2cosπ4+2α=

=cosπ4-2α=P.

Zatem L=P, co kończy dowód.

Słownik

tożsamość trygonometryczna
tożsamość trygonometryczna

równość, która jest prawdziwa dla wszystkich argumentów, dla których ma sens.