Infografika

Polecenie 1

Zapoznaj się z infografiką i wykonaj poniższe polecenie.

R6kL2Nkta82qR

Polecenie 2

Na podstawie zdobytych wiadomości wykonaj zadania:

a) uprość wyrażenie $tg α + \frac{1}{tg α}$ ,

b) wyznacz wartości funkcji $\sin α$ oraz $\cos α$ kąta ostrego $α$ , jeżeli $tg α = 3$ .

a) Do uproszczenia wyrażenia $tg α + \frac{1}{tg α}$ wykorzystamy wzór $tg α = \frac{\sin α}{\cos α}$ .

Zatem mamy: $tg α + \frac{1}{tg α} = \frac{\sin α}{\cos α} + \frac{1}{\frac{\sin α}{\cos α}} = \frac{\sin α}{\cos α} + \frac{\cos α}{\sin α}$ .

Otrzymane wyrażenie możemy zapisać jako:

$\frac{\sin α}{\cos α} + \frac{\cos α}{\sin α} = \frac{\sin^{2} α}{\sin α \cos α} + \frac{\cos^{2} α}{\sin α \cos α} = \frac{1}{\sin α \cos α}$ .

b) Z danych w zadaniu wynika, że $α$ jest kątem ostrym oraz $tg α = 3$ .

Wykorzystamy wzór $tg α = \frac{\sin α}{\cos α}$ .

Otrzymujemy równanie $\frac{\sin α}{\cos α} = 3$ , co po przekształceniu daje $\sin α = 3 \cos α$ .

Równość tą podstawiamy do jedynki trygonometrycznej: ${(3 \cos α)}^{2} + \cos^{2} α = 1$ .

Zatem $9 \cos^{2} α + \cos^{2} α = 1$ .

$10 \cos^{2} α = 1$ , więc $\cos α = \frac{\sqrt{10}}{10}$ lub $\cos α = - \frac{\sqrt{10}}{10}$ .

Ponieważ $α$ jest kątem ostrym, więc $\cos α = \frac{\sqrt{10}}{10}$ .

Stąd $\sin α = 3 \cdot \cos α = 3 \cdot \frac{\sqrt{10}}{10} = \frac{3 \sqrt{10}}{10}$ .

Przeczytaj