Infografika

Polecenie 1

Zapoznaj się z infografiką i wykonaj poniższe polecenie.

R6kL2Nkta82qR

Ilustracja. Zagadnienie: Jak inaczej udowodnić wzór na jedynkę trygonometryczną? W prostokątnym układzie współrzędnych narysujmy okrąg o promieniu jeden i zastosujmy twierdzenie Pitagorasa dla współrzędnych punktu nawias, x, przecinek, y, zamknięcie nawiasu leżącego na okręgu jednostkowym x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, y indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, jeden. Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X praz z pionową osią Y. Na płaszczyźnie narysowano okrąg jednostkowy i zaznaczono jego punkty charakterystyczne o współrzędnych: nawias, jeden, średnik, zero, zamknięcie nawiasu, nawias, zero, średnik, jeden, zamknięcie nawiasu, nawias, minus, jeden, średnik, zero, zamknięcie nawiasu oraz nawias, zero, średnik, minus, jeden, zamknięcie nawiasu. Na płaszczyźnie poprowadzono ukośną prostą przechodzącą przez początek układu współrzędnych i przecinającą okrąg w dwóch punktach. Prosta ta nachylona jest do osi X pod kątem THETA. Pierwszy punkt znajduje się w trzeciej ćwiartce, drugi w pierwszej. Punkt leżący w pierwszej ćwiartce ma współrzędne nawias, kosinus THETA, średnik, sinus THETA, zamknięcie nawiasu. Z tego punktu poprowadzono pionowy odcinek do osi X. Ma on długość wartość bezwzględna z, sinus THETA, koniec wartości bezwzględnej. Kolorem wyróżniono także odcinek leżący na osi X o początku w punkcie nawias, zero, średnik, zero, zamknięcie nawiasu i końcu wspólnym z pionowym odcinkiem. Poziomy odcinek ma długość wartość bezwzględna z, kosinus THETA, koniec wartości bezwzględnej. W ten sposób powstał trójkąt prostokątny, o przyprostokątnych wartość bezwzględna z, kosinus THETA, koniec wartości bezwzględnej i wartość bezwzględna z, sinus THETA, koniec wartości bezwzględnej oraz o przekątnej będącej promieniem okręgu. Długość promienia wynosi jeden. Kąt między bokami trójkąta wartość bezwzględna z, kosinus THETA, koniec wartości bezwzględnej a przeciwprostokątną to kąt nachylenia prostej do osi C, czyli jest to kąt THETA. Koniec opisu. Rozwiązanie. Zapisujemy równanie na mocy twierdzenia Pitagorasa. x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, y indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, jeden Pod x i y podstawiamy wartości, jakie uzyskaliśmy na rysunku, zatem równanie przyjmuje postać: kosinus indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, THETA, plus, sinus indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, THETA, równa się, jeden, co należało wykazać.

Polecenie 2

Na podstawie zdobytych wiadomości wykonaj zadania:

a) uprość wyrażenie $tg α + \frac{1}{tg α}$ ,

b) wyznacz wartości funkcji $\sin α$ oraz $\cos α$ kąta ostrego $α$ , jeżeli $tg α = 3$ .

a) Do uproszczenia wyrażenia $tg α + \frac{1}{tg α}$ wykorzystamy wzór $tg α = \frac{\sin α}{\cos α}$ .

Zatem mamy: $tg α + \frac{1}{tg α} = \frac{\sin α}{\cos α} + \frac{1}{\frac{\sin α}{\cos α}} = \frac{\sin α}{\cos α} + \frac{\cos α}{\sin α}$ .

Otrzymane wyrażenie możemy zapisać jako:

$\frac{\sin α}{\cos α} + \frac{\cos α}{\sin α} = \frac{\sin^{2} α}{\sin α \cos α} + \frac{\cos^{2} α}{\sin α \cos α} = \frac{1}{\sin α \cos α}$ .

b) Z danych w zadaniu wynika, że $α$ jest kątem ostrym oraz $tg α = 3$ .

Wykorzystamy wzór $tg α = \frac{\sin α}{\cos α}$ .

Otrzymujemy równanie $\frac{\sin α}{\cos α} = 3$ , co po przekształceniu daje $\sin α = 3 \cos α$ .

Równość tą podstawiamy do jedynki trygonometrycznej: ${(3 \cos α)}^{2} + \cos^{2} α = 1$ .

Zatem $9 \cos^{2} α + \cos^{2} α = 1$ .

$10 \cos^{2} α = 1$ , więc $\cos α = \frac{\sqrt{10}}{10}$ lub $\cos α = - \frac{\sqrt{10}}{10}$ .

Ponieważ $α$ jest kątem ostrym, więc $\cos α = \frac{\sqrt{10}}{10}$ .

Stąd $\sin α = 3 \cdot \cos α = 3 \cdot \frac{\sqrt{10}}{10} = \frac{3 \sqrt{10}}{10}$ .

Przeczytaj

Sprawdź się