Przeczytaj
Sinusem kąta ostrego nazywamy stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciwko tego kąta do długości przeciwprostokątnej.
Cosinusem kąta ostrego nazywamy stosunek długości przyprostokątnej leżącej przy tym kącie do długości przeciwprostokątnej.
Tangensem kąta ostrego nazywamy stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciwko tego kąta do długości przyprostokątnej leżącej przy tym kącie.
Z powyższych definicji mamy, że:
Wartość drugiego kąta ostrego w podanym trójkącie wynosi . Zatem:
Porównując z powyższymi zależnościami, mamy następujące wzory:
Równość możemy zapisać jako .
Wyrażenie
po przekształceniu wynosi
.
Dla dowolnego kąta ostrego zachodzą następujące zależności:
a) (jedynka trygonometryczna),
b) .
a) Z rysunku możemy odczytać, że: oraz .
Zatem mamy:
.
b) Z rysunku odczytujemy, że .
Z definicji sinusa oraz cosinusa kąta mamy, że:
.
Z powyższego twierdzenia mamy zależność:
Wyznaczymy wartości funkcji trygonometrycznych kąta ostrego , jeżeli wiadomo, że .
Z zależności w trójkącie prostokątnym mamy, że , zatem .
Po podstawieniu do jedynki trygonometrycznej mamy, że .
Otrzymujemy, że , zatem lub .
Ponieważ jest kątem ostrym, więc .
Zatem .
Uprościmy wyrażenie .
Stosując zależności pomiędzy funkcjami trygonometrycznymi mamy, że:
.
Wyznaczymy wartość wyrażenia , jeżeli oraz jest kątem ostrym.
Po przekształceniu wyrażenie jest postaci .
Wartość wyznaczymy z jedynki trygonometrycznej.
Zatem mamy: .
Z obliczeń mamy, że , więc lub .
Ponieważ jest kątem ostrym, zatem .
Szukana wartość wyrażenia wynosi .
Czy istnieje kąt ostry , dla którego oraz ?
W celu sprawdzenia, czy istnieje taki kąt, wyznaczymy wartość , a następnie wykorzystamy jedynkę trygonometrycznąjedynkę trygonometryczną.
Zatem mamy: .
Podstawiając, otrzymujemy równanie: , więc .
Sprawdzamy, czy zachodzi równość .
Po podstawieniu mamy: .
Zatem nie istnieje taki kąt.