Ilustracja dotycząca twierdzenia o trzech ciągach.
Dane są dwa nieskończone ciągi liczbowe $\left(x_n\right)$ oraz $\left(y_n\right)$. Przypadek pierwszy. Niech $\underset{n\to +\infty }{\lim }{x}_n=+\infty$.
Jeżeli istnieje taka liczba naturalna K, że dla każdej liczby naturalnej $n>K$ zachodzi nierówność $x_n<y_n$, to $\underset{n\to +\infty }{\lim }{y}_n=+\infty$.
Przypadek drugi. Niech $\underset{n\to +\infty }{\lim }{y}_n=-\infty$. Jeżeli istnieje taka liczba naturalna K, że dla każdej liczby naturalnej $n>K$ zachodzi nierówność $x_n>y_n$, to $\underset{n\to +\infty }{\lim }{y}_n=-\infty$.
Przykład. Uzasadnimy na podstawie twierdzenia o trzech ciągach, że ciąg $y_n$ jest rozbieżny do $+\infty$.
Uzasadnimy, że $y_n=\frac{n^2+3n+1}{4n+1}$ jest rozbieżny do plus nieskończoności. Zdefiniujmy ciąg $\left(x_n\right)$ taki, że $x_n=\frac{1}{4}n$. Uzasadnimy, że nierówność $\frac{n^2+3n+1}{4n+1}>\frac{1}{4}n$ jest spełniona dla każdej liczby naturalnej $n$. Z lewej strony nierówności $\frac{n^2+3n+1}{4n+1}>\frac{1}{4}n$ pozbywamy się ułamka, mnożąc przez $\left(4n+1\right)$. Mamy więc
$n^2+3n+1=\frac{1}{4}n\left(4n+1\right)$.
Wymnażamy prawą stronę nierówności, otrzymując $n^2+3n+1=n^2+\frac{1}{4}$.
Po redukcji otrzymujemy nierówność prawdziwą dla dowolnej dodatniej liczby naturalnej $n$.
$\frac{11}{4}n+1>0$.
$n$-ty wyraz ciągu $y_n$ jest większy od $\frac{1}{4}n$, dla dowolnej dodatniej liczby naturalnej $n$. Możemy zapisać więc
$\underset{n\in {\mathrm{\mathbb{N}}}_{+}}{\forall }\frac{n^2+3n+1}{4n+1}>\frac{1}{4}n$,
czyli
$\underset{n\in {\mathrm{\mathbb{N}}}_{+}}{\forall }{y}_n>x_n$.
Ponieważ ciąg $x_n=\frac{1}{4}n$ jest rozbieżny do plus nieskończoności, zatem z twierdzenia o trzech ciągach wynika, że ciąg $y_n$ także jest rozbieżny do plus nieskończoności.