Sprawdź się - Zintegrowana Platforma Edukacyjna

1

Pokaż ćwiczenia:

R11RrKAnoDUqC1

Ćwiczenie 1

Czy granicą ciągu $a_{n} = \sqrt[5]{n^{5} + n^{3} + n}$ jest $+ \infty$ ?

TAK
NIE

RPNdJ2nTJ5yC21

Ćwiczenie 2

Wskaż ciągi rozbieżne do $- \infty$ .

$a_{n} = 1000 - n^{3} - \sqrt{n}$
$a_{n} = \frac{1 - 3 n}{1 - 5 n} - 3 n$
$a_{n} = (n^{2} + 3 n) \frac{1 + 3 n}{1 - 5 n}$
$a_{n} = (n^{2} + 3 n) \frac{1 + 3 n}{1 + 5 n}$
$a_{n} = \frac{1 - 3 n}{1 - 5 n} + 3 n$
$a_{n} = {(- 1)}^{n} n$

RR0PPPgxZNl9o2

Ćwiczenie 3

Wskaż ciągi rozbieżne do $+ \infty$ .

$a_{n} = 1000 - \sqrt[3]{- n^{2}}$
$a_{n} = \frac{4 + 3 n}{1 - 2 n} + n^{3}$
$a_{n} = (4 - n^{3}) \frac{3 + n}{1 - 5 n}$
$a_{n} = (n^{2} + \sqrt{n}) \frac{1 + 3 n^{2}}{2 - n^{2}}$
$a_{n} = \frac{4 + 3 n}{1 - 2 n} + 1$
$a_{n} = {(- 1)}^{n} n^{2}$

R1IhTqmVPxUel2

Ćwiczenie 4

Połącz w pary ciąg i jego granicę.

<span aria-label=" minus, jeden" role="math"><math><mo>-</mo><mn>1</mn></math></span>, <span aria-label=" plus, nieskończoność" role="math"><math><mo>+</mo><mo>∞</mo></math></span>, <span aria-label=" minus, nieskończoność" role="math"><math><mo>-</mo><mo>∞</mo></math></span>, <span aria-label=" minus, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka" role="math"><math><mo>-</mo><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac></math></span>

$a_{n} = (3 n^{2} + 2 n + 4) \frac{n^{2} + n}{5 - 2 n^{2}}$
$a_{n} = (3 n^{2} + 2 n + 4) + \frac{n^{2} + n}{5 - 3 n^{2}}$
$a_{n} = \frac{3 n^{2} + n}{5 - 6 n^{2}}$
$a_{n} = \frac{3 n^{2} + 2 n + 4}{5 - 3 n^{2}}$

RbRpNGX39S9Hk2

Ćwiczenie 5

Uzupełnij tekst, aby otrzymać twierdzenie prawdziwe.

$a = 0$ , $a < 0$ , $a > 0$ , $+ \infty$ , $- \infty$

Jeżeli ciąg $(x_{n})$ jest rozbieżny do ............ i $\lim_{n \to + \infty} y_{n} =$ ............ i ciąg $(z_{n})$ jest rozbieżny do ............, to $\lim_{n \to + \infty} (x_{n} \cdot y_{n} + z_{n}) = + \infty$ .

RKyEr2s6UEnpM2

Ćwiczenie 6

Przypisz każdemu ciągowi jego granicę.

<span aria-label="a indeks dolny, n, równa się, początek ułamka, n indeks górny, dwa, plus, cztery n, plus, cztery, mianownik, n, plus, dwa, koniec ułamka" role="math"><math><msub><mi>a</mi><mi>n</mi></msub><mo>=</mo><mfrac><mrow><msup><mi>n</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><mn>4</mn><mi>n</mi><mo>+</mo><mn>4</mn></mrow><mrow><mi>n</mi><mo>+</mo><mn>2</mn></mrow></mfrac></math></span>, <span aria-label="a indeks dolny, n, równa się, jeden indeks górny, dwa, plus, dwa indeks górny, dwa, plus, wielokropek, plus, n indeks górny, dwa" role="math"><math><msub><mi>a</mi><mi>n</mi></msub><mo>=</mo><msup><mn>1</mn><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><msup><mn>2</mn><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><mo>…</mo><mo>+</mo><msup><mi>n</mi><mn>2</mn></msup></math></span>, <span aria-label="a indeks dolny, n, równa się, nawias, trzy, minus, n, zamknięcie nawiasu, indeks górny, jedenaście" role="math"><math><msub><mi>a</mi><mi>n</mi></msub><mo>=</mo><msup><mfenced><mrow><mn>3</mn><mo>-</mo><mi>n</mi></mrow></mfenced><mn>11</mn></msup></math></span>, <span aria-label="a indeks dolny, n, równa się, pierwiastek stopnia pięć z n indeks górny, pięć, plus, jeden" role="math"><math><msub><mi>a</mi><mi>n</mi></msub><mo>=</mo><mroot><mrow><msup><mi>n</mi><mn>5</mn></msup><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow><mn>5</mn></mroot></math></span>, <span aria-label="a indeks dolny, n, równa się, początek ułamka, n indeks górny, dwa, minus, sześć n, plus, dziewięć, mianownik, trzy, minus, n, koniec ułamka" role="math"><math><msub><mi>a</mi><mi>n</mi></msub><mo>=</mo><mfrac><mrow><msup><mi>n</mi><mn>2</mn></msup><mo>-</mo><mn>6</mn><mi>n</mi><mo>+</mo><mn>9</mn></mrow><mrow><mn>3</mn><mo>-</mo><mi>n</mi></mrow></mfrac></math></span>, <span aria-label="a indeks dolny, n, równa się, pierwiastek stopnia pięć z jeden, minus, n indeks górny, pięć" role="math"><math><msub><mi>a</mi><mi>n</mi></msub><mo>=</mo><mroot><mrow><mn>1</mn><mo>-</mo><msup><mi>n</mi><mn>5</mn></msup></mrow><mn>5</mn></mroot></math></span>, <span aria-label="a indeks dolny, n, równa się, jeden, plus, dwa, plus, wielokropek, plus, n" role="math"><math><msub><mi>a</mi><mi>n</mi></msub><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>+</mo><mn>2</mn><mo>+</mo><mo>…</mo><mo>+</mo><mi>n</mi></math></span>

$+ \infty$
$- \infty$

RCPyWljmSGCDt3

Ćwiczenie 7

Przypisz każdemu ciągowi jego granicę.

<span aria-label="a indeks dolny, n, równa się, początek ułamka, n indeks górny, dwa, plus, sześć n, plus, dziewięć, mianownik, n, plus, trzy, koniec ułamka, minus, początek ułamka, n, plus, trzy, mianownik, n, minus, dwa, koniec ułamka" role="math"><math><msub><mi>a</mi><mi>n</mi></msub><mo>=</mo><mfrac><mrow><msup><mi>n</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><mn>6</mn><mi>n</mi><mo>+</mo><mn>9</mn></mrow><mrow><mi>n</mi><mo>+</mo><mn>3</mn></mrow></mfrac><mo>-</mo><mfrac><mrow><mi>n</mi><mo>+</mo><mn>3</mn></mrow><mrow><mi>n</mi><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow></mfrac></math></span>, <span aria-label="a indeks dolny, n, równa się, początek ułamka, n indeks górny, dwa, plus, sześć n, plus, dziewięć, mianownik, minus, trzy, minus, n, koniec ułamka, plus, początek ułamka, n, plus, jeden, mianownik, n, minus, dwa, koniec ułamka" role="math"><math><msub><mi>a</mi><mi>n</mi></msub><mo>=</mo><mfrac><mrow><msup><mi>n</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><mn>6</mn><mi>n</mi><mo>+</mo><mn>9</mn></mrow><mrow><mo>-</mo><mn>3</mn><mo>-</mo><mi>n</mi></mrow></mfrac><mo>+</mo><mfrac><mrow><mi>n</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>n</mi><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow></mfrac></math></span>, <span aria-label="a indeks dolny, n, równa się, początek ułamka, n indeks górny, dziesięć, mianownik, pierwiastek stopnia cztery z n indeks górny, trzy, koniec ułamka" role="math"><math><msub><mi>a</mi><mi>n</mi></msub><mo>=</mo><mfrac><msup><mi>n</mi><mn>10</mn></msup><mroot><msup><mi>n</mi><mn>3</mn></msup><mn>4</mn></mroot></mfrac></math></span>, <span aria-label="a indeks dolny, n, równa się, początek ułamka, n indeks górny, dwa, plus, sześć n, plus, dziewięć, mianownik, n, plus, trzy, koniec ułamka, razy, początek ułamka, n, plus, cztery, mianownik, n, minus, dwa, koniec ułamka" role="math"><math><msub><mi>a</mi><mi>n</mi></msub><mo>=</mo><mfrac><mrow><msup><mi>n</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><mn>6</mn><mi>n</mi><mo>+</mo><mn>9</mn></mrow><mrow><mi>n</mi><mo>+</mo><mn>3</mn></mrow></mfrac><mo>·</mo><mfrac><mrow><mi>n</mi><mo>+</mo><mn>4</mn></mrow><mrow><mi>n</mi><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow></mfrac></math></span>, <span aria-label="a indeks dolny, n, równa się, początek ułamka, n indeks górny, dziesięć, mianownik, pierwiastek stopnia pięć z minus, n indeks górny, trzy, koniec ułamka" role="math"><math><msub><mi>a</mi><mi>n</mi></msub><mo>=</mo><mfrac><msup><mi>n</mi><mn>10</mn></msup><mroot><mrow><mo>-</mo><msup><mi>n</mi><mn>3</mn></msup></mrow><mn>5</mn></mroot></mfrac></math></span>, <span aria-label="a indeks dolny, n, równa się, początek ułamka, n indeks górny, dwa, plus, sześć n, plus, dziewięć, mianownik, minus, trzy, minus, n, koniec ułamka, razy, początek ułamka, n, plus, jeden, mianownik, n, minus, dwa, koniec ułamka" role="math"><math><msub><mi>a</mi><mi>n</mi></msub><mo>=</mo><mfrac><mrow><msup><mi>n</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><mn>6</mn><mi>n</mi><mo>+</mo><mn>9</mn></mrow><mrow><mo>-</mo><mn>3</mn><mo>-</mo><mi>n</mi></mrow></mfrac><mo>·</mo><mfrac><mrow><mi>n</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>n</mi><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow></mfrac></math></span>

$+ \infty$
$- \infty$

RKIAxzyKcPuBH3

Ćwiczenie 8

Czy ciąg $a_{n} = \frac{2 n^{2} + 3 n - 5}{n - 1} - \frac{n^{2} + 5 n + 6}{n + 2}$ jest rozbieżny do $+ \infty$ ?

TAK
NIE