Jeżeli $\underset{n\to +\infty }{\lim }{x}_n=+\infty$ i $a>0$, to $\underset{n\to +\infty }{\lim }a·x_n=+\infty$.

Jeżeli $\underset{n\to +\infty }{\lim }{x}_n=+\infty$ i $a<0$, to $\underset{n\to +\infty }{\lim }a·x_n=-\infty$.

Jeżeli $\underset{n\to +\infty }{\lim }{x}_n=-\infty$ i $a>0$, to $\underset{n\to +\infty }{\lim }a·x_n=-\infty$.

Jeżeli $\underset{n\to +\infty }{\lim }{x}_n=-\infty$ i $a<0$, to $\underset{n\to +\infty }{\lim }a·x_n=+\infty$.

Ponieważ $\underset{n\to +\infty }{\lim }n=+\infty$ oraz $3>0$, to na podstawie poznanego twierdzenia otrzymujemy $\underset{n\to +\infty }{\lim }3n=+\infty$.

Ponieważ $\underset{n\to +\infty }{\lim }-n^2=-\infty$ oraz $-5<0$, to na podstawie poznanego twierdzenia otrzymujemy $\underset{n\to \infty }{\lim }\left(\left(-5\right)\left(-n^2\right)\right)=+\infty$.

Jeżeli $\underset{n\to +\infty }{\lim }{x}_n=+\infty$ i $\underset{n\to +\infty }{\lim }{y}_n=a>0$, to $\underset{n\to +\infty }{\lim }{x}_n·y_n=+\infty$.

Jeżeli $\underset{n\to +\infty }{\lim }{x}_n=+\infty$ i $\underset{n\to +\infty }{\lim }{y}_n=a<0$, to $\underset{n\to +\infty }{\lim }{x}_n·y_n=-\infty$.

Jeżeli $\underset{n\to +\infty }{\lim }{x}_n=-\infty$ i $\underset{n\to +\infty }{\lim }{y}_n=a>0$, to $\underset{n\to +\infty }{\lim }{x}_n·y_n=-\infty$.

Jeżeli $\underset{n\to +\infty }{\lim }{x}_n=-\infty$ i $\underset{n\to +\infty }{\lim }{y}_n=a<0$, to $\underset{n\to +\infty }{\lim }{x}_n·y_n=+\infty$.

Obliczymy granicę ciągu: $\underset{n\to +\infty }{\lim }\left(2n^2·\frac{n+1}{2n-3}\right)$.

Rozwiązanie

Granicą ciągu $x_n=n^2$ jest $+\infty$. Zatem na podstawie twierdzenia $\underset{n\to +\infty }{\lim }2n^2=+\infty$.

$\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{n+1}{2n-3}=\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{1+\frac{1}{n}}{2-\frac{3}{n}}=\frac{1}{2}$

Zatem korzystając z powyższego twierdzenia otrzymujemy: $\underset{n\to +\infty }{\lim }\left(2n^2·\frac{n+1}{2n-3}\right)=+\infty$.

Jeżeli $\underset{n\to +\infty }{\lim }{x}_n=+\infty$ i $a\in \mathrm{ℝ}$, to $\underset{n\to +\infty }{\lim }\left(x_n+a\right)=+\infty$.

Jeżeli $\underset{n\to +\infty }{\lim }{x}_n=-\infty$ i $a\in \mathrm{ℝ}$, to $\underset{n\to +\infty }{\lim }\left(x_n+a\right)=-\infty$.

Jeżeli $\underset{n\to +\infty }{\lim }{x}_n=+\infty$ i $\underset{n\to +\infty }{\lim }{y}_n=a\in \mathrm{ℝ}$, to $\underset{n\to +\infty }{\lim }\left(x_n+y_n\right)=+\infty$.

Jeżeli $\underset{n\to +\infty }{\lim }{x}_n=-\infty$ i $\underset{n\to +\infty }{\lim }{y}_n=a\in \mathrm{ℝ}$, to $\underset{n\to +\infty }{\lim }\left(x_n+y_n\right)=-\infty$.

Obliczymy granicę: $\underset{n\to +\infty }{\lim }\left(1-n+\frac{2n+1}{4-3n}\right)$.

Rozwiązanie

Granicą ciągu $x_n=-n$ jest $-\infty$. Zatem na podstawie twierdzenia $\underset{n\to +\infty }{\lim }\left(1-n\right)=-\infty$.

Obliczamy granicę ciągu:

$\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{2n+1}{4-3n}=\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{2+\frac{1}{n}}{\frac{4}{n}-3}=\frac{2}{-3}=-\frac{2}{3}$.

Zatem korzystając z powyższego twierdzenia otrzymujemy: $\underset{n\to +\infty }{\lim }\left(1-n+\frac{2n+1}{4-3n}\right)=-\infty$.

Jeżeli $\underset{n\to +\infty }{\lim }{x}_n=+\infty$ i $\underset{n\to +\infty }{\lim }{y}_n=+\infty$, to $\underset{n\to +\infty }{\lim }{x}_n·y_n=+\infty$.

Jeżeli $\underset{n\to +\infty }{\lim }{x}_n=+\infty$ i $\underset{n\to +\infty }{\lim }{y}_n=-\infty$, to $\underset{n\to +\infty }{\lim }{x}_n·y_n=-\infty$.

Jeżeli $\underset{n\to +\infty }{\lim }{x}_n=-\infty$ i $\underset{n\to +\infty }{\lim }{y}_n=-\infty$, to $\underset{n\to +\infty }{\lim }{x}_n·y_n=+\infty$.

Jeżeli $\underset{n\to +\infty }{\lim }{x}_n=+\infty$ i $\underset{n\to +\infty }{\lim }{y}_n=+\infty$, to $\underset{n\to +\infty }{\lim }\left(x_n+y_n\right)=+\infty$.

Jeżeli $\underset{n\to +\infty }{\lim }{x}_n=-\infty$ i $\underset{n\to +\infty }{\lim }{y}_n=-\infty$, to $\underset{n\to +\infty }{\lim }\left(x_n+y_n\right)=-\infty$.

1. Obliczymy granicę ciągu: $\underset{n\to +\infty }{\lim }\left(n^2+2n\right)$.

Granicą ciągu $x_n=n^2$ jest $+\infty$. Granicą ciągu $x_n=2n$ jest $+\infty$.

Zatem korzystając z powyższego twierdzenia otrzymujemy: $\underset{n\to +\infty }{\lim }\left(n^2+2n\right)=+\infty$.

2. Obliczymy granicę ciągu: $\underset{n\to +\infty }{\lim }\left(n^2·n\right)$.

Granicą ciągu $x_n=n^2$ jest $+\infty$. Granicą ciągu $x_n=n$ jest $+\infty$.

Zatem korzystając z powyższego twierdzenia otrzymujemy: $\underset{n\to +\infty }{\lim }\left(n^2·n\right)=+\infty$.

1. Jeżeli $k>0$, to $\underset{n\to +\infty }{\lim }{n}^k=+\infty$.

2. Jeżeli $m>0$ i $\underset{n\to +\infty }{\lim }{x}_n=+\infty$, to $\underset{n\to +\infty }{\lim }{\left(x_n\right)}^m=+\infty$.

Obliczymy granicę: $\underset{n\to +\infty }{\lim }\sqrt[3]{3n^5+2n+7}$.

Rozwiązanie

Na podstawie pierwszego z przedstawionych twierdzeń dla $k=5$ mamy: $\underset{n\to +\infty }{\lim }3n^5=+\infty$. Wiemy także, że

$\underset{n\to +\infty }{\lim }\left(2n+7\right)=+\infty$.

Zatem $\underset{n\to +\infty }{\lim }\left(3n^5+2n+7\right)=+\infty$.

Korzystając z drugiego przedstawionego twierdzenia dla $m=\frac{1}{3}$ mamy:

$\underset{n\to +\infty }{\lim }\sqrt[3]{3n^5+2n+7}=+\infty$.

ciąg, którego granicą jest $+\infty$

ciąg, którego granicą jest $-\infty$