Infografika

Polecenie 1

Zapoznaj się z infografiką, dzięki której utrwalisz schemat pozwalający znaleźć funkcję odwrotną do dowolnej funkcji odwracalnej.

R16BreF2KTs0G

Na ilustracji interaktywnej przedstawiono schemat wyznaczania wzoru funkcji odwrotnej na przykładzie funkcji wzajemnie jednoznacznej to znaczy równowartościowej.

f : (0; \infty) \to ℝ,

f (x) = \log_{2} x

. Punkt 1. Podstawienie litery

y

w miejsce

f (x)

. Otrzymujemy

y = \log_{2} (x)

. Punkt 2. Wyliczenie z równania zmiennej

x

. Otrzymujemy

x = 2^{y}

. Punkt 3. Zamiana miejscami liter

x

oraz

y

. Otrzymujemy

y = 2^{x}

. Punkt 4. Podstawienie w miejsce litery

y

oznaczenia

f^{- 1} (x)

. Otrzymujemy

f^{- 1} (x) = 2^{x}

Polecenie 2

Posługując się powyższą infografiką wyznacz funkcję odwrotną do funkcji wzajemnie jednoznacznej: $f (x) = \sqrt[3]{3 x - 7}$ .

$y = \sqrt[3]{3 x - 7}$

$y = \sqrt[3]{3 x - 7}$ , więc $y^{3} = 3 x - 7$ , skąd $y^{3} + 7 = 3 x$ i ostatecznie $x = \frac{y^{3} + 7}{3}$

$y = \frac{x^{3} + 7}{3}$

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{3} + 7}{3}$ .

Polecenie 3

Posługując się powyższą infografiką wyznacz funkcję odwrotną do funkcji wzajemnie jednoznacznej

$f : R ∖ \{- 4\} \to R ∖ \{3\}$ danej wzorem: $f (x) = \frac{3 x - 1}{x + 4}$ .

$y = \frac{3 x - 1}{x + 4}$

$y = \frac{3 x - 1}{x + 4}$ , skąd $y (x + 4) = 3 x - 1$ . Po wymnożeniu otrzymamy równość $y x + 4 y = 3 x - 1$ i równoważnie $y x - 3 x = - 4 y - 1$ . Wyłączając $x$ przed nawias otrzymamy: $x (y - 3) = - 4 y - 1$ , czyli $x = \frac{- 4 y - 1}{y - 3}$

$y = \frac{- 4 x - 1}{x - 3}$

$f^{- 1} (x) = \frac{- 4 x - 1}{x - 3}$ .

Przeczytaj

Sprawdź się