Przeczytaj

W tym materiale zmierzymy się z różnymi zadaniami dotyczącymi sprawdzania, czy funkcja odwrotnafunkcja odwrotnafunkcja odwrotna istnieje do danej funkcji oraz wyznaczania wzoru funkcji odwrotnej, jeśli odpowiedź na nasze pytanie jest pozytywna.

Wiemy, że aby istniała funkcja odwrotna, to dana funkcja musi być różnowartościowa i „na”. Funkcję, która jest jednocześnie funkcją różnowartościową i funkcją „na” nazywamy bijekcją.

W przykładzie poniżej bardzo dokładnie omówimy wykazywanie tych własności.

Przykład 1

Znajdziemy funkcję odwrotną do funkcji $f (x) = 6 x - 7$ .

Rozwiązanie:

Funkcja $f : ℝ \to ℝ$ .

Pokażemy z definicji, że funkcja $f$ jest różnowartościowa:
Niech $x_{1}$ , $x_{2} \in ℝ$ . Załóżmy, że $f (x_{1}) = f (x_{2})$ .
Mamy więc ciąg równości
$6 x_{1} - 7 = 6 x_{2} - 7$
$6 x_{1} = 6 x_{2}$
$x_{1} = x_{2}$

Pokażemy z definicji, że funkcja jest „na”. Weźmy dowolny $y \in ℝ$ . Rozważmy $x = \frac{y + 7}{6}$ . Oczywiście jest to liczba rzeczywista. Wówczas:
$f (x) = f (\frac{y + 7}{6}) = 6 \frac{y + 7}{6} - 7 = y + 7 - 7 = y$ .

Funkcja jest różnowartościowa i „na”funkcja „na”„na”, więc jest odwracalnafunkcja odwracalnaodwracalna, tj. istnieje funkcja odwrotna $f^{- 1} : ℝ \to ℝ$ .

Aby wyznaczyć wzór funkcji odwrotnej do danej, z równania $y = 6 x - 7$ wyliczamy zmienną $x$ : $y + 7 = 6 x$ , skąd $x = \frac{y + 7}{6}$ . Otrzymujemy wówczas funkcję zmiennej $y$ . Wystarczy wrócić do oznaczeń nam znanych i wstawić w miejsce $y$ literę $x$ , a w miejsce wyliczonego $x$ literę $y$ : $y = \frac{x + 7}{6}$ .

Funkcja odwrotna do funkcji $f$ ma zatem postać $f^{- 1} (x) = \frac{1}{6} x + \frac{7}{6}$ .

Przykład 2

Wyznaczymy funkcję odwrotną do funkcji $f (x) = \sqrt{x^{3} - 1}$ w jej dziedzinie naturalnej.

Rozwiązanie:

Wyznaczmy dziedzinę funkcji $f$ . Rozwiązujemy nierówność:
$x^{3} - 1 \geq 0$ , czyli $(x - 1) (x^{2} + x + 1) \geq 0$ . Ponieważ wyróżnik kwadratowy trójmianu kwadratowego $x^{2} + x + 1$ jest mniejszy od $0$ $(∆ = 1 - 4 = - 3 < 0)$ , nierówność $x^{2} + x + 1 > 0$ , jest spełniona dla każdego $x \in ℝ$ . Zatem możemy pominąć ten czynnik rozważając jedynie nierówność $x - 1 \geq 0$ , skąd $x \geq 1$ .

Obierzmy za przeciwdziedzinę zbiór wartości funkcji, czyli $f :$ $<1, \infty) \to <0, \infty)$ . Wówczas funkcja $f$ jest „na”.

Sprawdźmy, czy jest różnowartościowafunkcja różnowartościowaróżnowartościowa. Niech $x_{1}$ , $x_{2} \in ⟨1, \infty)$ . Wówczas następujące równości są równoważne

$f (x_{1}) = f (x_{2})$

$\sqrt{x_{1}^{3} - 1} = \sqrt{x_{2}^{3} - 1}$

$x_{1}^{3} - 1 = x_{2}^{3} - 1$

$x_{1}^{3} = x_{2}^{3}$

$x_{1}^{3} - x_{2}^{3} = 0$

$(x_{1} - x_{2}) (x_{1}^{2} + x_{1} x_{2} + x_{2}^{2}) = 0$

$x_{1} = x_{2}$

Ostatnia równoważność wynika z faktu, że $x_{1}^{2} + x_{1} x_{2} + x_{2}^{2} \neq 0$ dla $x_{1}$ , $x_{2} \in ⟨1, \infty)$ .

Pokazaliśmy, że funkcja $f$ jest bijekcjąbijekcjabijekcją.

Znajdźmy funkcję odwrotną. W tym celu wyznaczymy $x$ ze wzoru $y = \sqrt{x^{3} - 1}$ . Mamy więc

$y^{2} = x^{3} - 1$

$y^{2} + 1 = x^{3}$

$x = \sqrt[3]{y^{2} + 1}$

Stosując schemat z Przykładu 1 po zamianie liter $x$ na $y$ i $y$ na $x$ otrzymujemy: $y = \sqrt[3]{x^{2} + 1}$ .

Funkcja odwrotna do funkcji $f$ ma postać: $f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{x^{2} + 1}$ , $f^{- 1} :$ $<0, \infty) \to <1, \infty)$ .

Czasami wykazując własność różnowartościowości funkcji będziemy korzystać z definicji. Na ogół jednak nie jest to proste, dlatego przydatne będą „Własności funkcji złożonej”:

złożenie funkcji rosnącej z rosnącą jest funkcją rosnącą,

złożenie funkcji rosnącej z malejącą jest funkcją malejącą,

złożenie funkcji malejącej z malejącą jest funkcją rosnącą,

złożenie funkcji różnowartościowych jest funkcją różnowartościową.

Związek monotoniczności z różnowartościowością

Twierdzenie: Związek monotoniczności z różnowartościowością

Funkcja rosnąca (malejąca) jest różnowartościowa.

Dowód

Niech funkcja $f : X \to Y$ będzie funkcją rosnącą. Niech $x_{1}$ , $x_{2} \in X$ , $x_{1} \neq x_{2}$ . Możemy założyć, że $x_{1} < x_{2}$ . Ponieważ $f$ jest rosnąca, więc $f (x_{1}) < f (x_{2})$ . Stąd oczywiście wynika, że $f (x_{1}) \neq f (x_{2})$ . Pokazaliśmy, że funkcja $f$ jest różnowartościowa.

Przykład 3

Niech $f : ℝ \to ℝ$ będzie określona wzorem: $f (x) = \{\begin{cases} - x^{2}, & x < 0 \\ x, & 0 \leq x < 1 \\ 2 x - 1, & x \geq 1 \end{cases}$ .
Znajdziemy, o ile istnieje, funkcję odwrotną do $f$ .

Rozwiązanie:

Narysujmy wykres funkcji.

R1TDaZpfCZ5TG

Na ilustracji przedstawiono układ współrzędnych z poziomą osią X od minus pięciu do pięciu oraz z pionową osią Y od minus trzech do czterech. Na płaszczyźnie narysowano wykres składający się z krzywej biegnącej od minus nieskończoności, przez punkt -1;-1, do punktu 0;0, ukośnego odcinka, który łączy punkty 0;0 i 1;1 oraz półprostej wychodzącej z punkty 1;1, biegnącej do plus nieskończoności przez punkt 2;3.

Zbiór wartości $f (ℝ) = ℝ$ . Stąd funkcja jest „na”funkcja „na”„na”. Funkcja $f_{1} (x) = - x^{2}$ jest na przedziale $(- \infty, 0)$ rosnąca, $f_{2} (x) = x$ na $⟨0, 1)$ rosnąca, $f_{3} (x) = 2 x - 1$ na $⟨1, \infty)$ rosnąca, czyli funkcja $f$ jest rosnąca na całej dziedzinie $ℝ$ , w takim razie jest różnowartościowa na mocy powyższego twierdzenia.

Zatem istnieje funkcja odwrotna $f^{- 1} : ℝ \to ℝ$ .

Niech $x < 0$ . Wówczas $y = - x^{2}$ . Zatem $x = \sqrt{- y}$ i zamieniając miejscami $x$ i $y$ otrzymujemy wzór: $f^{- 1} (x) = \sqrt{- x}$ .

Niech $0 \leq x < 1$ . Wówczas $y = x$ , więc $f^{- 1} (x) = x$ .

Niech $x \geq 1$ . Wówczas $y = 2 x - 1$ . Po przekształceniu mamy, że $y + 1 = 2 x$ , więc $x = \frac{y + 1}{2}$ . Zatem $f^{- 1} (x) = \frac{x + 1}{2}$ ,

$f^{- 1} (x) = \{\begin{cases} \sqrt{- x}, & x < 0 \\ x, & 0 \leq x < 1 \\ \frac{1}{2} x + \frac{1}{2}, & x \geq 1 \end{cases}$ .

Przykład 4

Wyznaczymy funkcję odwrotnąfunkcja odwrotnafunkcję odwrotną do $f (x) = \sqrt{1 + 2^{x}}$ .

Rozwiązanie:

Wyznaczmy dziedzinę funkcji $f :$ $D = \{x : 1 + 2^{x} \geq 0\} = ℝ$ . Zbiorem wartości jest przedział $(1, \infty)$ . Czyli $f :$ $ℝ \to (1, \infty)$ jest „na”. Funkcja wewnętrzna $f_{1} (x) = 1 + 2^{x}$ jest funkcją rosnącą oraz funkcja zewnętrzna $f_{2} (x) = \sqrt{x}$ jest rosnąca, zatem jako złożenie funkcji rosnących jest rosnąca i stąd różnowartościowa.

Istnieje funkcja odwrotna $f^{- 1} :$ $(1, \infty) \to ℝ$ .

Wyznaczmy wzór tej funkcji:

Z równości $y = \sqrt{1 + 2^{x}}$ wyznaczymy $x$ przekształcając kolejno:

$y^{2} = 1 + 2^{x}$

$2^{x} = y^{2} - 1$

$x = \log_{2} (y^{2} - 1)$ .

Stosując schemat otrzymujemy $y = \log_{2} (x^{2} - 1)$ . Czyli $f^{- 1} (x) = \log_{2} (x^{2} - 1)$ .

Czasami, szukając funkcji odwrotnej do funkcji złożonej, wygodnie jest skorzystać z następującego twierdzenia:

O funkcji odwrotnej do funkcji złożonej

Twierdzenie: O funkcji odwrotnej do funkcji złożonej

Jeżeli funkcje $f : X \to Y$ , $g : Y \to Z$ są bijekcjamibijekcjabijekcjami, to złożenie $g \circ f$ jest bijekcją i ${(g \circ f)}^{- 1} = f^{- 1} \circ g^{- 1}$ .

Dowód

Ponieważ złożenie dwóch funkcji różnowartościowych jest funkcją różnowartościową, więc $g \circ f$ jest funkcją różnowartościowąfunkcja różnowartościowaróżnowartościową. Pokażemy, że jest też „na”funkcja „na”„na”.
Funkcja $g \circ f : X \to Z$ . Weźmy dowolny element $z \in Z$ . Skoro funkcja $g$ jest „na” zbiór $Z$ , to istnieje taki element $y \in Y$ , że $g (y) = z$ . Jednocześnie, skoro $f$ jest „na” $Y$ , to istnieje taki element $x \in X$ , że $f (x) = y$ . Mamy, że $g \circ f (x) = g (f (x)) = g (y) = z$ . Więc funkcja $g \circ f$ jest „na” zbiór $Z$ .

Pozostaje pokazać, że ${(g \circ f)}^{- 1} = f^{- 1} \circ g^{- 1}$ . Niech $x \in X$ . Wówczas
$(f^{- 1} \circ g^{- 1}) \circ (g \circ f) (x) = (f^{- 1} \circ g^{- 1}) (g (f (x))) = f^{- 1} (g^{- 1} (g (f (x)))) =$
$= f^{- 1} (f (x)) = x$ .
Jednocześnie dla $z \in Z$ mamy, że
$(g \circ f) \circ (f^{- 1} \circ g^{- 1}) (z) = (g \circ f) (f^{- 1} (g^{- 1} (z))) =$
$= g (f (f^{- 1} (g^{- 1} (z)))) = g (g^{- 1} (z)) = z$ ,
czyli funkcja odwrotna do $g \circ f$ jest postaci: ${(g \circ f)}^{- 1} = f^{- 1} \circ g^{- 1}$ .

Przykład 5

Korzystając z poprzedniego twierdzenia wyznaczymy funkcję odwrotną do funkcji złożonej: $f (x) = \log_{3} (2^{x} + 1)$ .

Rozwiązanie:

Niech $g (x) = 2^{x} + 1$ , $g :$ $ℝ \to (1, \infty)$ , $h (x) = \log_{3} x$ , $h :$ $(0, \infty) \to ℝ$ . Ponieważ $(1, \infty) \subset (0, \infty)$ istnieje złożenie $(h \circ g) (x) = \log_{3} (2^{x} + 1) = f (x)$ .

Funkcje $g$ i $h$ są rosnące, a więc różnowartościowe. Ponieważ zbiór wartości funkcji $g$ to przedział $(1, \infty)$ oraz zbiór wartości funkcji $h$ to $ℝ$ , więc obie funkcje są „na”. Zatem są bijekcjami. Zatem $f$ też jest bijekcjąbijekcjabijekcją. Istnieją funkcje odwrotne do $g$ , $h$ , $h \circ g$ . Znajdźmy funkcje odwrotne $g$ i $h$ :

$y = 2^{x} + 1$ , stąd $y - 1 = 2^{x}$ , więc $\log_{2} (y - 1) = x$ . Zamieniając $x$ i $y$ miejscami, otrzymujemy
$\log_{2} (x - 1) = y$ , czyli $g^{- 1} (x) = \log_{2} (x - 1)$ .

$y = \log_{3} x$ , więc $3^{y} = x$ . Postępując analogicznie jak wyżej $y = 3^{x}$ i $h^{- 1} (x) = 3^{x}$ .

A więc: ${(h \circ g)}^{- 1} (x) = (g^{- 1} \circ h^{- 1}) (x) = \log_{2} (3^{x} - 1)$ , ${(h \circ g)}^{- 1} : ℝ \to ℝ$ .

Sprawdźmy z jednej strony:

$((h \circ g) \circ {(h \circ g)}^{- 1}) (x) = \log_{3} (2^{\log_{2} (3^{x} - 1)} + 1) = \log_{3} (3^{x} - 1 + 1) = \log_{3} 3^{x} = x$ .

Słownik

funkcja „na”

funkcja jest „na” cały zbiór $Y$ wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego $y \in Y$ istnieje takie $x \in X$ , że $f (x) = y$

funkcja różnowartościowa

funkcja jest różnowartościowa wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego $y \in Y$ i dla dowolnych $x_{1}$ , $x_{2} \in X$ jeżeli spełniony jest warunek $f (x_{1}) = y$ i $f (x_{2}) = y$ , to $x_{1} = x_{2}$

bijekcja

funkcja będąca jednocześnie „na” i różnowartościową

funkcja odwrotna

niech funkcja $f : X \to Y$ będzie różnowartościowa i „na”; funkcję $f^{- 1} : Y \to X$ nazywamy funkcją odwrotną do funkcji $f$ , jeśli $f^{- 1} (y) = x$ wtedy i tylko wtedy, gdy $y = f (x)$ dla każdego $x \in X$ i $y \in Y$

funkcja odwracalna

funkcję, dla której istnieje funkcja odwrotna, nazywamy funkcją odwracalną

Wprowadzenie

Infografika

Słownik