Dziedziną funkcji jest zbiór $D=\mathrm{ℝ}\setminus \left\{1\right\}$. Przekształćmy funkcję $f\left(x\right)=\frac{2x-1}{x-1}=\frac{2\left(x-1\right)+1}{x-1}=2+\frac{1}{x-1}$. Wykres funkcji $f$ powstaje w wyniku przesunięcia wykresu funkcji $g\left(x\right)=\frac{1}{x}$ o wektor $\left[1, 2\right]$. Naszkicujmy wykres tej funkcji.

Rcnxj6GssvVYZ

Na ilustracji przedstawiono układ współrzędnych z poziomą osią $X$ od minus sześciu do sześciu oraz z pionową osią $Y$ od minus czterech do ośmiu. Na płaszczyźnie narysowano wykres funkcji, który stanowi hiperbola. Gałęzie hiperboli przechodzą przez punkty $\left(0;1\right)$ oraz $\left(2;3\right)$. Asymptotę pionową opisuje równanie x, równa się, jeden, natomiast asymptotę poziomą opisuje równanie y, równa się, dwa.

Zbiorem wartości jest zbiór $ZW=\mathrm{ℝ}\setminus \left\{2\right\}$. Jeśli za przeciwdziedzinę przyjmiemy jej zbiór wartości, to funkcja jest „na”.

Funkcja jest malejąca a więc różnowartościowa. Istnieje funkcja odwrotna. Wyznaczymy jej wzór:

$y=2+\frac{1}{x-1}$, więc $y-2=\frac{1}{x-1}$. Stąd $x-1=\frac{1}{y-2}$ i $x=\frac{1}{y-2}+1$. Stosując schemat:

$y=\frac{1}{x-2}+1$ czyli $f^{-1}\left(x\right)=\frac{1}{x-2}+1$.

R1dXEDpAyixcK

Na ilustracji przedstawiono układ współrzędnych z poziomą osią $X$ od minus trzech do siedmiu oraz z pionową osią $Y$ od minus dwóch do czterech. Na płaszczyźnie narysowano wykres funkcji, który stanowi hiperbola. Gałęzie hiperboli przechodzą przez punkty $\left(0;1\right)$ oraz $\left(3;2\right)$. Linią przerywaną zaznaczono asymptotę pionową funkcji, którą opisuje równanie x, równa się, dwa oraz asymptotę poziomą o równaniu y, równa się, jeden.

Funkcja $f_1\left(x\right)=3^x-1$ jest rosnąca, a stąd różnowartościowa. Funkcja $f_2\left(x\right)={\log }_3\left(x+1\right)$ jako złożenie dwóch funkcji rosnących jest funkcją rosnącą, czyli też różnowartościową.

R1enfR6IfHrWO

Na ilustracji przedstawiono układ współrzędnych z poziomą osią $X$ od minus pięciu do pięciu oraz z pionową osią $Y$ od minus dwóch do dwóch. Na płaszczyźnie narysowano wykresy dwóch funkcji. Niebieski wykres funkcji $y=f_1\left(x\right)$ stanowi krzywa, która biegnie od minus nieskończoności przez punkty $\left(-5;-1\right)$, $\left(-4;1\right)$ a następnie odbija w górę do punktu $\left(0;0\right)$. Czerwonym kolorem narysowano wykres funkcji $y=f_2\left(x\right)$ biegnie od punktu $\left(0;0\right)$ do plus nieskończoności przez punkt $\left(2;1\right)$.

Dziedziną naturalną funkcji jest cały zbiór liczb rzeczywistych. Zbiorem wartości jest zbiór $\left(-1, \infty \right)$. Funkcja w tak określonych zbiorach jest „na”.

Wzory funkcji odwrotnej:

$y=3^x-1$, więc $3^x=y+1$. Z definicji logarytmu otrzymujemy: $x={\log }_3\left(y+1\right)$ i po zamianie zmiennych

$y={\log }_3\left(x+1\right)$, dla $-1<x<0$

$y={\log }_3\left(x+1\right)$, więc $3^y=x+1$ i $x=3^y-1$, po zamianie

$y=3^x-1$, dla $x\ge 0$

Funkcja odwrotna do funkcji $f$ wyraża się wzorem: $f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ll}{\log }_3\left(x+1\right),& -1<x<0\\ 3^x-1,& x\ge 0\end{array}\right.$.

RIUFSC0aV2MaD

Na ilustracji przedstawiono układ współrzędnych z poziomą osią $X$ od minus pięciu do pięciu oraz z pionową osią $Y$ od minus dwóch do dwóch. Na płaszczyźnie narysowano wykresy dwóch funkcji. Niebieski wykres funkcji $y=f_1\left(x\right)$ stanowi krzywa, która biegnie od minus nieskończoności przez punkty $\left(-5;-1\right)$, $\left(-4;1\right)$ a następnie odbija w górę do punktu $\left(0;0\right)$. Czerwonym kolorem narysowano wykres funkcji $y=f_2\left(x\right)$ biegnie od punktu $\left(0;0\right)$ do plus nieskończoności przez punkt $\left(2;1\right)$. Niebieską linią przerywaną dorysowano wykres funkcji biegnący w dół od punktu $\left(0;0\right)$, przez punkt $\left(-1;-3\right)$ do minus nieskończoności. Natomiast czerwoną linią przerywaną dorysowano wykres funkcji biegnący od punktu $\left(0;0\right)$ w górę, przez punkt $\left(1;2\right)$ do plus nieskończoności.

1. Pokażemy z definicji, że funkcja $f$ jest różnowartościowa.

   Niech $x_1$, $x_2\in X$

   $f\left(x_1\right)=f\left(x_2\right)$, stąd $3\sqrt{x_1}-2=3\sqrt{x_2}-2$ więc $3\sqrt{x_1}=3\sqrt{x_2}$ i ostatecznie mamy $\sqrt{x_1}=\sqrt{x_2}$ i $x_1=x_2$.

2. Pokażemy z definicji, że funkcja jest „na”.

   Niech $y\in Y$. Rozważmy $x={\left(\frac{y+2}{3}\right)}^2\in \left.⟨0, \infty \right)$

   $f\left(x\right)=f\left({\left(\frac{y+2}{3}\right)}^2\right)=3\sqrt{{\left(\frac{y+2}{3}\right)}^2}-2=3\left(\frac{y+2}{3}\right)-2=y$.

Istnieje funkcja odwrotna $f^{-1}:\left.⟨-2, \infty \right)\to \left.⟨0, \infty \right)$. Wyznaczmy ją:

$y=3\sqrt{x}-2$, więc $y+2=3\sqrt{x}$, więc $x={\left(\frac{y+2}{3}\right)}^2$, zamieniając $x$ i $y$ miejscami $y={\left(\frac{x+2}{3}\right)}^2$ stąd $f^{-1}\left(x\right)={\left(\frac{x+2}{3}\right)}^2$.

Przekształćmy funkcję: $f\left(x\right)={\log }_{x}2=\frac{{\log }_{2}2}{{\log }_{2}x}=\frac{1}{{\log }_{2}x}$. Zauważmy, że jest to funkcja złożona.

Skorzystamy z Twierdzenia o funkcji odwrotnej do funkcji złożonej. Niech $h\left(x\right)={\log }_{2}x$, $h:\left(1, \infty \right)\to \left(0, \infty \right)$ oraz $g\left(x\right)=\frac{1}{x}$, $g:\left(0, \infty \right)\to \left(0, \infty \right)$. Funkcja $h$ jest funkcją rosnącą, a więc różnowartościową. Jest „na”, ponieważ zbiorem wartości funkcji $h$ jest przedział $\left(0, \infty \right)$. Funkcja $g$ jest funkcją malejącą, czyli również różnowartościową. Jest „na” – zbiór wartości funkcji $g$ to przedział $\left(0, \infty \right)$. Obydwie są bijekcjami, czyli istnieją funkcje do nich odwrotne:

$y={\log }_{2}x\iff x=2^y$ po zamianie $y=2^x$, więc $h^{-1}\left(x\right)=2^x$,

$y=\frac{1}{x}$ i stąd $x=\frac{1}{y}$ po zamianie $y=\frac{1}{x}$, czyli $g^{-1}\left(x\right)=\frac{1}{x}$.

Funkcja $f=g\circ h:\left(1, \infty \right)\to \left(0, \infty \right)$, $f\left(x\right)=g\left(h\left(x\right)\right)=\frac{1}{{\log }_{2}x}$. Złożenie jest bijekcją, czyli istnieje funkcja odwrotna i na mocy Twierdzenia o funkcji odwrotnej do funkcji złożonej otrzymujemy:

$f^{-1}\left(x\right)={\left(g\circ h\right)}^{-1}\left(x\right)=\left(h^{-1}\circ g^{-1}\right)\left(x\right)=2^{\frac{1}{x}}=\sqrt[x]{2}$.