Ilustracja interaktywna Sprawdzimy, czy funkcja dana wzorem $f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}\left|2x-4\right|, \left|x\right|>2\\ {\log }_{\sqrt{2}}\left(x+6\right), \left|x\right|⩽2\end{array}\right.$ posiada granicę w punktach: $x_1=-2$ oraz $x_2=2$. 1. Na początek przekształcimy wzór funkcji $f$ tak, aby nie zawierał wartości bezwzględnej. $\left.\begin{array}{r}x>2\Rightarrow 2x-4>0\\ x<-2\Rightarrow 2x-4<0\end{array}\right\}\Rightarrow f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}4-2x, x<-2\\ {\log }_{\sqrt{2}}\left(x+6\right), x\in ⟨-2;2⟩\\ 2x-4, x>2\end{array}\right.$, 2. Aby sprawdzić czy funkcja $f$ posiada granicę w punktach $x_1=-2$ i $x_2=2$, obliczymy w tych punktach granice jednostronne. $\left.\begin{array}{r}\underset{x\to -2^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to -2^{-}}{\lim }\left(4-2x\right)=4+4=8\\ \underset{x\to -2^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to -2^{+}}{\lim }{\log }_{\sqrt{2}}\left(x+6\right)={\log }_{\sqrt{2}}4=4\end{array}\right\}\Rightarrow \underset{x\to 2}{\lim }f\left(x\right)$ nie istnieje., 3. Ponieważ granica lewostronna funkcji $f$ w punkcie $\left(-2\right)$ jest równa $8$, natomiast granica prawostronna w tym punkcie jest równa $4$, więc funkcja $f$ nie posiada granicy w punkcie $x_1=-2$. $\left.\begin{array}{r}\underset{x\to -2^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to -2^{-}}{\lim }l{\mathrm{og}}_{\sqrt{2}}\left(x+6\right)={\log }_{\sqrt{2}}8=6\\ \underset{x\to -2^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to -2^{+}}{\lim }\left(4-2x\right)=4-4=0\end{array}\right\}\Rightarrow \underset{x\to 2}{\lim }f\left(x\right)$ nie istnieje., 4. Granica lewostronna funkcji $f$ w punkcie $2$ jest równa $6$, natomiast granica prawostronna w tym punkcie jest równa $0$. Ponieważ granice jednostronne funkcji $f$ w punkcie $2$ są różne, więc również w tym punkcie funkcja nie posiada granicy.