Przeczytaj
W temacie tym zajmiemy się funkcjami, które są określone na kliku różnych przedziałach poprzez różne funkcje elementarefunkcje elementare. Jak wiemy funkcje elementarnefunkcje elementarne posiadają granicę w każdym punkcie swojej dziedziny oraz granica ta jest równa wartości funkcji w tym punkcie. W związku z tym badając granice funkcji określonych różnymi wzorami na kilku przedziałach wystarczy ograniczyć się do badania granicy w punktach, w których funkcja „zmienia swój wzór”. W argumentach należących do wnętrza każdego z przedziałów granica będzie równa wartości funkcji liczonej według wzoru, którym funkcja jest określona na tym przedziale. Przy obliczaniu granicy w punktach, w których funkcja zmienia wzór, korzystać będziemy z poniższego twierdzenia.
Jeśli funkcja posiada w punkcie granicę lewo- oraz prawostronną oraz granice te są równe, to wówczas posiada ona także granicę w tym punkcie oraz
Spójrzmy na poniższe przykłady.
Rozważmy funkcję
Sprawdzimy czy posiada ona granicę w punktach oraz . Na początek spójrzmy na wykres tej funkcji.
Jak widzimy funkcja jest określona różnymi wzorami na lewo oraz na prawo od danych punktów. Oznacza to, że konieczne jest obliczenie granic jednostronnych. Ponieważ na lewo od punktu funkcja jest określona wzorem więc
Z drugiej strony na prawo od punktu funkcja jest określona wzorem więc
Jak widzimy granice jednostronne funkcji w punkcie są różne. Oznacza to, że granica funkcji w punkcie nie istnieje. Rozważmy teraz punkt . Na lewo od tego punktu więc
Z kolei na prawo od punktu mamy , zatem
Jak widzimy granice jednostronne funkcji w punkcie są równe. Wynika stąd, że funkcja posiada granicę w punkcie oraz
Rozważmy funkcję
Dziedziną danej funkcji jest zbiór . Sprawdzimy czy istnieje granica funkcji w punktach oraz , w których zmienia się jej wzór. Zauważmy, że oraz . W związku z tym wzór funkcji możemy zapisać w prostszej postaci
Obliczymy teraz granice jednostronne funkcji . Mamy kolejno
Jak widzimy granice jednostronne funkcji w punktach oraz są równe. Wynika stąd, że funkcja posiada w obu tych punktach granicę oraz
Poniżej znajduje się wykres funkcji .
Obliczymy granicę funkcji
w punktach oraz . W tym celu obliczymy granice jednostronne w tych punktach. Ponieważ na lewo od punktu mamy . więc
Z kolei na prawo od punktu funkcja jest określona wzorem , czyli
Jak widzimy granice jednostronne funkcji w punkcie są różne. Oznacza to, że funkcja nie posiada granicy w tym punkcie. Sprawdzimy teraz czy funkcja posiada granicę w punkcie . w tym celu liczymy granice jednostronne. Mamy
oraz
W tym przypadku granice jednostronne są sobie równe co oznacza, że funkcja posiada granicę w punkcie oraz
Obliczymy granicę funkcji
w punktach oraz . Na lewo oraz na prawo od punktu funkcja określona jest różnymi wzorami więc liczymy granice jednostronne. Mamy
oraz
Jak widzimy granica lewostronna funkcji w punkcie jest równa granicy prawostronnej w tym punkcie, zatem
Obliczmy teraz granice jednostronne funkcji w punkcie . Mamy
oraz
W tym przypadku granice jednostronne także są równe. Wnisokujemy stąd, że funkcja posiada w punkcie granicę oraz
Słownik
do funkcji elementarnych zaliczamy następujące funkcje
wielomiany (w szczególności funkcje liniowe i kwadratowe)
funkcje wymierne
funkcje wykładnicze
funkcje logarytmiczne
funkcje trygonometryczne
funkcje typu
ponadto funkcją elementarną jest suma, różnica, iloczyn, iloraz oraz złożenie dowolnych dwóch funkcji elementarnych