Rozwiąż nierówność $\frac{x^6\left(x+1\right)}{x^5}\ge \frac{4}{x}+4$. Zauważmy, że wyrażenia w obu mianownikach, czyli $x^5$ i $x$ muszą przyjmować wartości różne od zera. Stąd mamy następujące założenia: $x^5\ne 0$, $x\ne 0$. Zatem dziedziną nierówności wymiernej jest $\mathrm{ℝ}\setminus \left\{0\right\}$. Zapiszmy nierówność. $\frac{x^6\left(x+1\right)}{x^5}\ge \frac{4}{x}+4$. Następnie skracamy ułamek algebraiczny występujący po lewej stronie nierówności. Otrzymujemy. $x\left(x+1\right)\ge \frac{4}{x}+4$.Następnie pomnóżmy obustronnie nierówność wymierną przez $x^2$. Otrzymujemy $x^3\left(x+1\right)\ge 4x+4x^2$. Dla $x\ne 0$: $x^2>0$. Zatem zwrot nierówności się nie zmieni. Zapisujemy $x^4+x^3-4x^2-4x\ge 0$. Następnie sprowadzamy nierówność do postaci ogólnej. Otrzymujemy, $x^3\left(x+1\right)-4x\left(x+1\right)\ge 0$. Wyciągamy współczynnik $\left(x+1\right)$ przed nawias i otrzymujemy $\left(x+1\right)\left(x^3-4x\right)\ge 0$. Rozkładamy wielomian na czynniki. $x\left(x+1\right)\left(x-2\right)\left(x+2\right)\ge 0$. Następnie sprowadzamy wielomian do postaci iloczynowej. Zapisujemy $W\left(x\right)=x\left(x+1\right)\left(x-2\right)\left(x+2\right)$. Wielomian $W$ ma trzy pierwiastki jednokrotne: $\left(-2\right)$, $\left(-1\right)$, $0$, $2$. Uwzględniając dziedzinę nierówności - $x\ne 0$ - sporządzamy szkic wykresu. Na poziomej osi $X$ od minus trzech do trzech narysowano wykres funkcji. Wykres przecina oś $X$ w zamalowanym punkcie minus dwa, minus jeden, w niezamalowanym punkcie zero, oraz w zamalowanym punkcie dwa. Funkcja od minus nieskończoności do minus dwóch, od minus jeden do zera, oraz od dwóch do plus nieskończoności jest dodatnia, wykres znajduje się nad osią $X$. Od minus dwóch do minus jeden, oraz od zera do dwóch, funkcja jest ujemna a wykres znajduje się pod osią $X$. Skoro $x\ne 0$, to zbiorem rozwiązań nierówności jest zbiór $x\in (-\infty ;-2⟩\cup ⟨-1;0)\cup ⟨2;+\infty )$.