Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

R1JpmiuK2iNnQ1

Ćwiczenie 1

Wskaż liczby, które spełniają nierówność $\frac{(x - 2) (x - 3) (x - 4) x^{3}}{x^{2}} > 0$ .

$- \sqrt[4]{2}$
$\sqrt[4]{17}$
$\sqrt{15}$
$2$

R11FK3VpCo63I1

Ćwiczenie 2

Wskaż poprawne rozwiązanie nierówności $\frac{(x - 1) x}{x} \leq 0$

$x \in (- \infty; 0) \cup (0; 1 ⟩$
$x \in (- \infty; 1 ⟩$
$x \in ⟨ 1; + \infty)$
$x \in (- \infty, 0)$

R61iN0YE5bKSc2

Ćwiczenie 3

Połącz w pary nierówności z ich rozwiązaniami.

\frac{(x^{2} - 16) (x - 2) (x - 4) x}{x^{2}} \leq 0

Możliwe odpowiedzi: 1.

x \in (- \infty; - 4 ⟩ \cup (0; 2 ⟩ \cup \{4\}

, 2.

x \in (- \infty; - 4 ⟩ \cup ⟨ 2; 4 ⟩

, 3.

x \in (- \infty; - 2 ⟩ \cup (0; 2 ⟩ \cup \{4\}

\frac{x (x^{2} + 16) (x^{2} - 4) {(x - 4)}^{2}}{x^{2}} \leq 0

Możliwe odpowiedzi: 1.

x \in (- \infty; - 4 ⟩ \cup (0; 2 ⟩ \cup \{4\}

, 2.

x \in (- \infty; - 4 ⟩ \cup ⟨ 2; 4 ⟩

, 3.

x \in (- \infty; - 2 ⟩ \cup (0; 2 ⟩ \cup \{4\}

\frac{- 2 (- x^{2} + 16) (x^{3} - 8) {(x - 4)}^{6}}{x^{2}} \leq 0

Możliwe odpowiedzi: 1.

x \in (- \infty; - 4 ⟩ \cup (0; 2 ⟩ \cup \{4\}

, 2.

x \in (- \infty; - 4 ⟩ \cup ⟨ 2; 4 ⟩

, 3.

x \in (- \infty; - 2 ⟩ \cup (0; 2 ⟩ \cup \{4\}

Połącz w pary nierówności z ich rozwiązaniami.

$\frac{(x^{2} - 16) (x - 2) (x - 4) x}{x^{2}} \leq 0$
$\frac{x (x^{2} + 16) (x^{2} - 4) {(x - 4)}^{2}}{x^{2}} \leq 0$
$\frac{- 2 (- x^{2} + 16) (x^{3} - 8) {(x - 4)}^{6}}{x^{2}} \leq 0$

Ćwiczenie 4

RVv5I0rWozrAF

Czy rozwiązaniem nierówności wymiernej

$\frac{x (x + 1)}{2 x^{3}} \geq 1$	jest	$x \in (- \infty; 0) \cup ⟨ \frac{8}{9}; + \infty)$ ?
$\frac{- x + 1}{x} \geq 1$	jest	$x \in ⟨ - \frac{1}{2}; 0) \cup (0; 1 ⟩$ ?
$\frac{(- 2 - x) (x + 1)}{x^{2}} \geq - 1$	jest	$x \in (- \infty; - \frac{2}{3} ⟩$ ?
$\frac{- 2 x^{2} (x - 1)}{x^{3}} \leq \frac{1}{4}$	jest	$x \in (0; \frac{1}{2} ⟩$ ?

R1HvHxRjF3gUL

Do podanych nierówności dopasuj ich rozwiązania.

Rozwiązaniem nierówności $\frac{- x + 1}{x} \geq 1$ jest zbiór 1. $x \in (- \infty; - \frac{2}{3} ⟩$ , 2. $x \in (- \infty; 0) \cup ⟨ \frac{8}{9}; + \infty)$ , 3. $x \in ⟨ - \frac{1}{2}; 0) \cup (0; 1 ⟩$ , 4. $x \in (0; \frac{1}{2} ⟩$

Rozwiązaniem nierówności $\frac{(- 2 - x) (x + 1)}{x^{2}} \geq - 1$ jest zbiór 1. $x \in (- \infty; - \frac{2}{3} ⟩$ , 2. $x \in (- \infty; 0) \cup ⟨ \frac{8}{9}; + \infty)$ , 3. $x \in ⟨ - \frac{1}{2}; 0) \cup (0; 1 ⟩$ , 4. $x \in (0; \frac{1}{2} ⟩$ .

Rozwiązaniem nierówności $\frac{x (x + 1)}{2 x^{3}} \geq 1$ jest zbiór 1. $x \in (- \infty; - \frac{2}{3} ⟩$ , 2. $x \in (- \infty; 0) \cup ⟨ \frac{8}{9}; + \infty)$ , 3. $x \in ⟨ - \frac{1}{2}; 0) \cup (0; 1 ⟩$ , 4. $x \in (0; \frac{1}{2} ⟩$ .

Rozwiązaniem nierówności $\frac{- 2 x^{2} (x - 1)}{x^{3}} \leq \frac{1}{4}$ jest zbiór 1. $x \in (- \infty; - \frac{2}{3} ⟩$ , 2. $x \in (- \infty; 0) \cup ⟨ \frac{8}{9}; + \infty)$ , 3. $x \in ⟨ - \frac{1}{2}; 0) \cup (0; 1 ⟩$ , 4. $x \in (0; \frac{1}{2} ⟩$ .

R1F3yL0m3A2Gv2

Ćwiczenie 5

Oblicz iloczyn liczb całkowitych spełniających nierówność $\frac{(1 - x) (- x + 5) (x - 10)}{x} \leq 0$ . W miejsce poniżej wpisz kolejno - od lewej do prawej - cyfrę setek, dziesiątej i jedności.

............ ............ ............

Ćwiczenie 6

Oblicz, dla jakich wartości parametru $p$ każde rozwiązanie nierówności $|x + p| < 2$ jest równocześnie rozwiązaniem nierówności $\frac{3 x + 1}{x} > \frac{17}{6}$ .

W pierwszej kolejności rozwiąż nierówność $\frac{3 x + 1}{x} > \frac{17}{6}$ , a następnie posłuż się interpretacją geometryczną nierówności z wartością bezwzględną.

RKfDV8anI000y

Na ilustracji przedstawiono wykres funkcji z poziomą osią X. Na osi zaznaczono niezamalowany punkt p-2, punkt p, oraz niezamalowany punkt p+2. Zaznaczono przedział o długości czterech jednostek, od p-2 do p+2, lewostronnie oraz prawostronnie otwarty.

Dziedziną nierówność $\frac{3 x + 1}{x} > \frac{17}{6}$ jest $ℝ ∖ \{0\}$ .

Doprowadźmy nierówność wymierną do postaci ogólnej.

Wówczas

$\frac{3 x + 1}{x} - \frac{17}{6} > 0$ ,

$\frac{6 (3 x + 1)}{6 x} - \frac{17 x}{6 x} > 0$ ,

$\frac{18 x + 6 - 17 x}{6 x} > 0$ ,

$\frac{x + 6}{x} > 0$ .

Zapisujemy nierówność w postaci równoważnej nierówności iloczynowej

$x (x + 6) > 0 \land x \neq 0$ .

Uwzględniając $D = ℝ ∖ \{0\}$ szkicujemy wykres wielomianu $W (x) = x (x + 6)$ i odczytujemy rozwiązania nierówności.

RiPAZYSWIZ01f

Na ilustracji przedstawiono wykres funkcji z poziomą osią X. Wykres funkcji przecina oś w niezamalowanym punkcie minus sześć i niezamalowany punkcie zero. Funkcja jest dodatnia od minus nieskończoności do minus sześciu, oraz od zera do plus nieskończoności, a wykres znajduje się nad osią X. Funkcja jest ujemna od minus sześciu do zera, wykres funkcji znajduje się pod osią X.

Rozwiązaniem nierówności wymiernej jest zbiór $(- \infty; - 6) \cup (0; + \infty)$ .

RrDev2XrbotbB

Na ilustracji przedstawiono poziomą oś X od minus 22 do czterech, na której zaznaczono przedziały. Przedział od -20 do minus szesnastu, lewostronnie oraz prawostronnie otwarty. Przedział od -10 do minus sześciu, lewostronnie oraz prawostronnie otwarty. Przedział od zera do czterech, lewostronnie oraz prawostronnie otwarty. Przedział od minus nieskończoności do minus sześciu, prawostronnie otwarty. Przedział od zera do plus nieskończoności, lewostronnie otwarty.

Zauważmy, że dla $p \in (- \infty; - 2 ⟩ \cup ⟨ 8; + \infty)$ każde rozwiązanie nierówności $|x + p| < 2$ jest równocześnie rozwiązaniem nierówności $\frac{3 x + 1}{x} > \frac{17}{6}$ .

$p \in (- \infty; - 2 ⟩ \cup ⟨ 8; + \infty)$ .

Ćwiczenie 7

Rozwiąż nierówność $\frac{- 3 x^{2} (2 - x) (x^{2} - 4) (x^{2} + 9)}{x^{3}} \geq 0$ .

Wyznacz dziedzinę, skróć ułamek i skorzystaj z poniższej równoważności: $\frac{W_{1} (x)}{W_{2} (x)} \geq 0 \Leftrightarrow W_{1} (x) \cdot W_{2} (x) \geq 0 \land W_{2} (x) \neq 0$ .

$D = ℝ ∖ \{0\}$ .

Skróćmy ułamek

$\frac{- 3 (2 - x) (x^{2} - 4) (x^{2} + 9)}{x} \geq 0$

Rozłóżmy licznik na czynniki

$\frac{- 3 (- 1) (x - 2) (x - 2) (x + 2) (x^{2} + 9)}{x} \geq 0$ ,

$\frac{3 (x - 2) (x - 2) (x + 2) (x^{2} + 9)}{x} \geq 0$ .

Korzystamy z równoważności: $\frac{W_{1} (x)}{W_{2} (x)} \geq 0 \Leftrightarrow W_{1} (x) \cdot W_{2} (x) \geq 0 \land W_{2} (x) \neq 0$ .

Inaczej zapisujemy nierówność w postaci równoważnej nierówności iloczynowej

$3 (x - 2) (x - 2) (x + 2) (x^{2} + 9) x \geq 0 \land x \neq 0$

$3 x {(x - 2)}^{2} (x + 2) (x^{2} + 9) \geq 0$ .

Wielomian $W (x) = 3 x {(x - 2)}^{2} (x + 2) (x^{2} + 9)$ ma jeden pierwiastek dwukrotny: $2$ oraz dwa pierwiastki jednokrotne: $- 2$ oraz $0$ .

Uwzględniając dziedzinę nierówności wymiernej $D = ℝ ∖ \{0\}$ rozwiązaniem nierówności jest zbiór $(- \infty; - 2 ⟩ \cup (0; + \infty)$ .

RKe09P0wiy9A1

Na ilustracji przedstawiono wykres funkcji z poziomą osią X. Funkcja przecina oś X w zamalowanym punkcie -2, niezamalowanym punkcie 0, oraz odbija się od osi w zamalowanym punkcie dwa. Funkcja jest dodatnia od minus nieskończoności do minus dwóch, oraz od zera do plus nieskończoności, a wykres znajduje się nad osią X. Funkcja jest ujemna od minus dwóch do zera, a wykres znajduje się pod osią X.

Odpowiedź: Rozwiązaniem nierówności wymiernej $\frac{- 3 x^{2} (2 - x) (x^{2} - 4) (x^{2} + 9)}{x^{3}} \geq 0$ jest zbiór $(- \infty; - 2 ⟩ \cup (0; + \infty)$ .

Ćwiczenie 8

Rozwiąż nierówność $\frac{2 x + \frac{2}{5}}{x^{2}} \leq \frac{x^{2} (x + 3) (x + 2)}{5 x^{4}}$ .

$D = ℝ ∖ \{0\}$ .

Skracamy ułamek występujący po prawej stronie nierówności

$\frac{2 x + \frac{2}{5}}{x^{2}} \leq \frac{(x + 3) (x + 2)}{5 x^{2}}$ .

Mnożymy obustronnie nierówność przez $5 x^{2}$ :

$\frac{2 x + \frac{2}{5}}{x^{2}} \leq \frac{(x + 3) (x + 2)}{5 x^{2}} / \cdot 5 x^{2}$ , gdzie $5 x^{2} > 0$

$5 (2 x + \frac{2}{5}) \leq (x + 3) (x + 2)$ ,

$10 x + 2 \leq x^{2} + 2 x + 3 x + 6$ .

Doprowadzamy nierówność do postaci ogólnej $- x^{2} + 5 x - 4 \leq 0$ .

Wielomian $R (x) = - (x - 1) (x - 4)$ ma dwa pierwiastki jednokrotne: $1$ , $4$ .

Uwzględniają dziedzinę nierówności wymiernej $D = ℝ ∖ \{0\}$ szkicujemy wykres.

RBDJ4IKyxJzE3

Na ilustracji przedstawiono wykres funkcji z poziomą osią X. Funkcja przecina oś X w zamalowanym punkcie 1, oraz zamalowanym punkcie cztery. Funkcja jest ujemna od minus nieskończoności do jeden, oraz od czterech do plus nieskończoności, a wykres znajduje się pod osią X. Funkcja jest dodatnia od jeden do czterech, a wykres znajduje się nad osią X.

Rozwiązaniem nierówności jest zbiór $(- \infty; 0) \cup (0; 1⟩ \cup ⟨4; + \infty)$ .

Infografika

Dla nauczyciela