Infografika

Polecenie 1

Zapoznaj się z poniższą infografiką, która przedstawia wzory na promienie kul wpisanych i opisanych na wielościanach foremnych. Następnie wykonaj poniższe ćwiczenia.

RFxVGwgV25wvp

Grafika przedstawia pięć wielościanów foremnych. W każdy wielościan foremny można wpisać kulę i na każdym wielościanie foremnym można opisać kulę. Pierwszym wielościanem jest czworościan foremny. W Czworościanie promień kuli wpisanej wynosi

\frac{a \sqrt{6}}{12}

, natomiast promień kuli opisanej opisano wzorem

\frac{a \sqrt{6}}{4}

. Kolejnym wielościanem jest sześcian. W tym przypadku promień kuli wpisanej wynosi

\frac{a}{2}

Natomiast promień kuli opisanej

\frac{a \sqrt{3}}{2}

. Następny jest ośmiościan , w tym przypadku promień kuli wpisanej to

\frac{a \sqrt{6}}{6}

a promień kuli opisanej to

\frac{a \sqrt{2}}{2}

. Kolejnym wielościanem jest dwunastościan. Promień kuli wpisanej ma wzór

\frac{a}{4} \sqrt{10 + \frac{22}{5} \sqrt{5}}

Promień kuli opisanej ma wzór

\frac{a}{4} \sqrt{3} (1 + \sqrt{5})

. Jako ostatni pozostał dwudziestościan. Promień kuli wpisanej ma wzór

\frac{a}{12} \sqrt{3} (3 + \sqrt{5})

. Z kolei promień kuli opisanej ma wzór

\frac{a}{4} \sqrt{10 + 2 \sqrt{5}}

Polecenie 2

Oblicz długość promienia kuli opisanej na dwudziestościanie foremnym, którego suma krawędzi wynosi $360$ . Oblicz pole powierzchni tej kuli.

Dwudziestościan foremny ma $30$ krawędzi. Długość jednej wynosi więc $12$ . Podstawmy tę wielkość do wzoru na promień kuli opisanej na dwudziestościanie foremnym.

$R = \frac{a}{4} \sqrt{10 + 2 \sqrt{5}} = \frac{12}{4} \sqrt{10 + 2 \sqrt{5}} = 3 \sqrt{10 + 2 \sqrt{5}}$

Zatem pole powierzchni kuli wynosi:

$P_{c} = 4 π R^{2} = 4 π {(3 \sqrt{10 + 2 \sqrt{5}})}^{2} = 4 π \cdot 9 \cdot (10 + 2 \sqrt{5}) = 72 π (5 + \sqrt{5})$ .

Polecenie 3

Oblicz, ile razy pole powierzchni kuli opisanej na dwunastościanie foremnym o krawędzi długości $8$ jest większe od pola kuli wpisanej w tę bryłę.

Obliczymy długości promieni tych kul.

Promień kuli wpisanej w dwunastościan foremny:

$r = \frac{a}{4} \sqrt{10 + \frac{22}{5} \sqrt{5}} = \frac{8}{4} \sqrt{10 + \frac{22}{5} \sqrt{5}} = 2 \sqrt{10 + \frac{22}{5} \sqrt{5}}$ .

Promień kuli opisanej na dwunastościanie foremny:

$R = \frac{a}{4} \sqrt{3} (1 + \sqrt{5}) = \frac{8}{4} \sqrt{3} (1 + \sqrt{5}) = 2 \sqrt{3} (1 + \sqrt{5})$ .

Obliczymy pola tych kul:

$P_{kuli wpisanej} = 4 π r^{2} = 4 π {(2 \sqrt{10 + \frac{22}{5} \sqrt{5}})}^{2} =$
$= 4 π \cdot 4 \cdot (10 + \frac{22}{5} \sqrt{5}) = 16 π (10 + \frac{22}{5} \sqrt{5})$ ,

$P_{kuli opisanej} = 4 π R^{2} = 4 π {(2 \sqrt{3} (1 + \sqrt{5}))}^{2} =$
$= 4 π \cdot 12 \cdot (1 + 2 \sqrt{5} + 5) = 48 π (6 + 2 \sqrt{5})$ .

Obliczymy, ile razy pole powierzchni kuli opisanej na dwunastościanie foremnym jest większe od pola kuli wpisanej w tę bryłę.

$\frac{P_{kuli opisanej}}{P_{kuli wpisanej}} = \frac{48 π (6 + 2 \sqrt{5})}{16 π (10 + \frac{22}{5} \sqrt{5})} = \frac{3 \cdot 2 (3 + \sqrt{5})}{2 (5 + \frac{11}{5} \sqrt{5})} = \frac{3 (3 + \sqrt{5})}{\frac{1}{5} (25 + 11 \sqrt{5})}$

Usuńmy niewymierność z mianownika:

$\frac{3 (3 + \sqrt{5})}{\frac{1}{5} (25 + 11 \sqrt{5})} \cdot \frac{(25 - 11 \sqrt{5})}{(25 - 11 \sqrt{5})} = \frac{3 (75 - 33 \sqrt{5} + 25 \sqrt{5} - 55)}{\frac{1}{5} (625 - 605)} =$
$= \frac{3 (20 - 8 \sqrt{5})}{\frac{1}{5} \cdot 20} = \frac{60 - 24 \sqrt{5}}{4} = 15 - 6 \sqrt{5}$

Pole powierzchni kuli opisanej na dwunastościanie foremnym jest większe od pola kuli wpisanej w tę bryłę $(15 - 6 \sqrt{5})$ razy.

Przeczytaj

Sprawdź się