Bryły platońskie

Bryły platońskie (wielościanywielościanwielościany foremne) to bryły, których wszystkie ściany są przystającymi wielokątamifigury przystająceprzystającymi wielokątami foremnymi i w których z każdego wierzchołka wychodzi tyle samo krawędzi.

Z trójkątów równobocznych złożyć można trzy bryły idealne:

  • tetraedr (czworościan foremny),

  • oktaedr (ośmiościan foremny),

  • ikosaedr (dwudziestościan foremny).

Czwartą bryłę reprezentuje heksaedr (sześcian), którego każda ściana da się podzielić na dwa trójkąty, jest więc też zbudowany z trójkątów.

Istnieje wreszcie piąta bryła foremna - dodekaedr, zbudowana z 12 pięciokątów regularnych, którą Platon uznał za zespolenie całości, bryłę łączącą wszystkie elementy.

RQa9GdItpvCat
1. czworościan foremny
tetraedrem opis alternatywny

S=4 trójkąty
K=6
W=4

Ilustracja przedstawia pięć brył. Pierwszą z nich jest ostrosłup o podstawie trójkąta, jest on podpisany czworościan foremny, czyli inaczej
tetraedrem, jego siatka składa się z czterech trójkątów. Pod ilustracją siatki zapisano:
S=4 [trójkąty]
K=6
W=4.

Drugą figurą jest sześcian, czyli inaczej prostopadłościan foremny, inaczej:
heksaedr jego siatka składa się z sześciu kwadratów. Pod ilustracją siatki zapisano:
S=6 [kwadraty]
K=12
W=8.

Kolejna figura to ośmiościan foremny, czyli oktaedr, jego siatka składa się z ośmiu trójkątów. Pod ilustracją siatki zapisano:
S=8 [trójkąty]
K=12
W=6.

Następna figura to dwunastościan foremny, dodekaedr jego siatka składa się z 12 pięciokątów, które wyglądają jak dwa połączone ze sobą pięciolistne kwiaty. Pod ilustracją siatki zapisano:
S=12 [pięciokąty]
K=30
W=20.

Ostatnią bryłą jest dwudziestościan foremny ikosaedr, jego siatka składa się z 20 trójkątów. Pod ilustracją siatki zapisano:
S=20 [trójkąty]
K=30
W=12.

Dlaczego tylko pięć brył?

Pitagoras udowodnił, że płaszczyzna dookoła punktu może być zapełniona jednolicie tylko trzema rodzajami wielokątów foremnych: trójkątami, kwadratami albo pięciokątami. Żeby powstało naroże, potrzebne są co najmniej trzy ściany a suma kątów płaskich w wierzchołku musi być mniejsza od kąta pełnego. Wszystkie ściany w przypadku brył platońskich są jednakowe. Zatem jeśli wielokąty foremne tego samego rodzaju mają utworzyć naroże, to takich kombinacji jest właśnie pięć.

Omówmy po kolei wszystkie bryły.

Czworościan foremny

Czworościan foremny to taki ostrosłup, który ma w podstawie oraz ścianach bocznych trójkąty równoboczne.

R1AIDKTIegink
Animacja przedstawia czworościan foremny, który rozkłada się z bryły do siatki. Siatka czworościanu składa się z czterech identycznych trójkątów równobocznych.

Wzory:

  • Wzór na pole powierzchni czworościanu foremnego

    Pc=a23
  • Wzór na objętość czworościanu foremnego

    V=a3212
  • Wzór na wysokość czworościanu foremnego:

    H=a63
  • Wzór na wysokość ściany bocznej czworościanu foremnego

    h=a32

Sześcian

Sześcian to graniastosłup, który ma sześć ścian będących przystającymi kwadratami.

RQRParYsMYZFu
Animacja przedstawia sześcian, który rozkłada się z bryły do siatki. Siatka sześcianu składa się z sześciu kwadratów przystających.

Wzory:

  • Wzór na pole powierzchni całkowitej sześcianu

    Pc=6a2
  • Wzór na objętość sześcianu

    V=a3

Ośmiościan foremny

Ośmiościan foremny ma osiem ścian będących trójkątami równobocznymi.

R1ZZ4RZ5GX42d
Animacja przedstawia ośmiościan foremny, który rozkłada się z bryły do siatki. Siatka ośmiościany składa się z ośmiu identycznych trójkątów równobocznych.

Wzory:

  • Wzór na pole powierzchni całkowitej

    PC=2a23
  • Wzór na objętość

    V=a323

Dwunastościan foremny

Dwunastościan foremny ma dwanaście ścian będących pięciokątami foremnymi.

R1DtU4C5TUE2z
Animacja przedstawia obracający się wokół własnej osi dwunastościan foremny.

Siatka dwunastościanu foremnego

RHzzHnpAaTmHV

Wzory:

  • Wzór na pole powierzchni całkowitej

    Pc=3a225+105
  • Wzór na objętość

    V=a3415+75

Dwudziestościan foremny

Dwudziestościan foremny ma dwadzieścia ścian będących trójkątami równobocznymi.

R1ObGpi0P0aEn
Animacja przedstawia obracający się wokół własnej osi dwudziestościan foremny.

Siatka dwudziestościanu foremnego

Rj2Y7LxDxB1Xt

Wzory:

  • Wzór na pole powierzchni całkowitej

    PC=5a23
  • Wzór na objętość

    V=512a33+5
Przykład 1

Uzupełnijmy w tabeli dane dotyczące wielościanów foremnych. Sprawdźmy, czy dla każdego z tych wielościanów spełniony jest wzór Eulera: s-k+w=2, gdzie s oznacza liczbę ścian, k - liczbę krawędzi, w - liczbę wierzchołków.

Wielościan foremny

Liczba ścian

Liczba krawędzi

Liczba wierzchołków

Czworościan

Sześcian

Ośmiościan

Dwunastościan

Dwudziestościan

Zobacz rozwiązanieRozwiązanieZobacz rozwiązanie

Sprawdźmy wzór Eulera dla każdej bryły z osobna.

Czworościan: 4-6+4=2.

Sześcian: 6-12+8=2.

Ośmiościan: 8-12+6=2.

Dwunastościan: 12-30+20=2.

Dwudziestościan: 20-30+12=2.

Zatem wzór Eulera zachodzi dla każdej bryły platońskiej.

Przykład 2

Pole powierzchni dwunastościanu foremnego jest równe 15+65. Obliczmy sumę długości wszystkich krawędzi tego wielościanu.

Rozwiązanie

3a225+105=15+65

a225+105=5+25

a2=5+2525+105

a2=5+2525+105·25+10525+105

a2=5+2555+2525+105=5+2555+2555+25

a2=55+255=5+255

a=5+2554

Suma długości krawędzi wynosi więc:

30·5+2554.

Przykład 3

Stosunek długości krawędzi dwudziestościanu foremnego do długości krawędzi dwunastościanu foremnego jest równy 233. Obliczmy, który z wielościanów ma większą objętość?

Rozwiązanie

Niech x – długość krawędzi dwudziestościanu foremnego, y – długość krawędzi dwunastościanu foremnego.

Wówczas xy=233, czyli x=2y33.

Zatem objętość dwudziestościanu foremnego wynosi:

5122y3333+5=512·24y33+5=10y33+5.

Dwunastościan foremny ma objętość równą:

y3415+75.

Porównajmy te dwie objętości:

10y33+5=y330+105

y3415+75=y3154+754

30+105>154+754.

Objętość dwudziestościanu foremnego jest większa od objętości dwunastościanu foremnego.

Przykład 4

Przekątna sześcianu jest o 6 dłuższa od przekątnej ściany tego sześcianu. Obliczmy długość krawędzi i objętość sześcianu.

Rozwiązanie

Oznaczmy a jako długość krawędzi sześcianu. Wówczas przekątna ściany ma długość a2, a przekątna sześcianu - a3. Powstaje więc równanie:

a3=a2+6

a3-a2=6

a3-2=6

a=63-2.

Usuńmy niewymierność z mianownika:

a=63-2·3+23+2=18+123-2=32+23.

Obliczmy objętość naszego sześcianu:

V=32+233=1622+1323.

Przykład 5

Obliczmy stosunek objętości przedstawionego na rysunku czworościanu foremnego do opisanego na nim sześcianu.

R1RZgK31GIybG

Rozwiązanie

Oznaczmy jako a długość krawędzi sześcianu. Wówczas długość krawędzi czworościanu ma długość a2 (przekątna ściany sześcianu).

Objętość czworościanu wynosi więc:

V=a23212=a33.

Objętość sześcianu wynosi a3. Zatem stosunek objętości czworościanu foremnego do opisanego na nim sześcianu wynosi 13.

Słownik

wielościan
wielościan

bryła geometryczna ograniczona przez tak zwaną powierzchnię wielościenną, czyli powierzchnię utworzoną z wielokątów o rozłącznych wnętrzach i każdym boku wspólnym dla dwóch wielokątów. Każdy wielościan utworzony jest ze ścian – wielokątów, które razem tworzą powierzchnię wielościanu

figury przystające
figury przystające

wszystkie figury, które mają taką samą liczbą boków o takiej samej długości oraz kąty między tymi bokami mające takie same wartości; figury przystające mają więc takie samo pole powierzchni i idealnie się na siebie nakładają

Rozwiązanie