Ilustracja interaktywna. Rozwiąż nierówność: $x^6+2x^5+x^4-8x^2-16x>0$. Rozwiązanie. Zapisujemy nierówność. $x^6+2x^5+x^4-8x^2-16x>0$, Lewa strona nierówności jest sumą sześciu jednomianów. Z pierwszych trzech jednomianów wyłączymy przed nawias jednomian $x^4$, a z ostatnich trzech liczbę $8$. $x^4\left(x^2+2x+1\right)-8\left(x^2+2x+1\right)>0$, Znów wyłączymy wspólny czynnik przed nawias. Będzie to trójmian kwadratowy $x^2+2x+1$. $\left(x^2+2x+1\right)\left(x^4-8\right)>0$, Otrzymaliśmy postać iloczynową nierówności wielomianowej. $W\left(x\right)=\left(x^2+2x+1\right)\left(x^4-8\right)$, Lewa strona nierówności jest wielomianem stopnia $6$. Obliczymy miejsce zerowe wielomianu $W\left(x\right)$, Miejsce zerowe wielomianu jest to taka liczba $x$, dla której $W\left(x\right)=0$.$\left(x^2+2x+1\right)\left(x^4-8\right)=0$, Przynajmniej jeden z czynników musi być równy zero. ${\left(x+1\right)}^2=0$ lub $\left(x^2-2\sqrt{2}\right)\left(x^2+2\sqrt{2}\right)=0$. Stąd mamy, że: $x=-1$ lub $x^2=2\sqrt{2}$ lub $x^2=-2\sqrt{2}$, przy czym ostatnia z równości jest sprzecznością, gdyż kwadrat dowolnej liczby jest nieujemny. Rozwiązując drugą z równości otrzymamy, że $x=\sqrt[4]{8}$ lub $x=-\sqrt[4]{8}$, Szkicujemy składa się z poziomej osi $X$ z zaznaczonymi na niej liczbami: $-\sqrt[4]{8}; -1; \sqrt[4]{8}$. Liczby zaznaczamy niezamalowanymi kółkami i prowadzimy przez nie wykres wielomianu tak, że od minus nieskończoności do liczby $-\sqrt[4]{8}$ wykres znajduje się pod osią, w punkcie $-\sqrt[4]{8}$ przechodzi nad oś i wraca pod oś w punkcie minus jeden. Fragment nad osią oznaczamy plusami między osią a wykresem. Od minus jeden do $\sqrt[4]{8}$ wykres przebiega pod osią i w punkcie $\sqrt[4]{8}$ przechodzi nad oś, co również oznaczamy plusami. Zapisujemy odpowiedź: Zbiorem rozwiązań nierówności jest zbiór: $\left(-\sqrt[4]{8};-1\right)\cup \left(\sqrt[4]{8};\infty \right)$