Wróć do informacji o e-podręczniku Wydrukuj Zapisz jako PDF Udostępnij materiał
Nierówność wielomianowa
Definicja: Nierówność wielomianowa

Nierównością wielomianową stopnia n nazywamy każdą z nierówności  postaci:

Wx>0 lub Wx0 lub Wx<0 lub Wx0

gdzie:
W – jest wielomianem stopnia n.

Zapisanie nierówności w postaci iloczynowej polega na zapisaniu jej za pomocą iloczynu sum algebraicznych, w których niewiadoma jest jak najmniejszego stopnia.

Nierówność wielomianowąnierówność wielomianowaNierówność wielomianową możemy sprowadzić do postaci iloczynowej metodą grupowania wyrazów. Metoda grupowania wyrazów polega na wielokrotnym (jeśli jest  to możliwe) wyciąganiu przed nawias wspólnego czynnika.

Przykład 1

Rozwiążemy nierówność x3+3x2-4x-12>0 metodą grupowania wyrazów.

x3+3x2-4x-12>0

Grupujemy wyrazy pierwszy z drugim oraz trzeci z czwartym. Z pierwszej pary wyłączamy przed nawias jednomian x2, a z drugiej pary liczbę -4.

x2x+3-4·x+3>0

Wspólny czynnik x+3 wyłączamy przed nawias.

x+3x2-4>0

Otrzymaliśmy nierówność wielomianowąnierówność wielomianowanierówność wielomianową zapisaną w postaci iloczynowej. Obliczymy teraz miejsce zerowe wielomianu Wx=x+3x2-4.

x+3x2-4=0

x+3=0 lub x2-4=0

x+3=0 lub x-2x+2=0

x=-3 lub x=2 lub x=-2

Szkicujemy wykres wielomianu zaczynając od prawej strony i od góry. Wszystkie pierwiastki wielomianu są pojedyncze więc wykres przecina oś X.

RTjkP4vM2c2g8
x-3, -22, 

Zbiór rozwiązań nierówności tworzą wszystkie liczby x takie, że x-3, -22, .

Przykład 2

Rozwiążemy nierówność x5+x3-8x2-8<0 metodą grupowania wyrazów.

x5+x3-8x2-8<0

x3x2+1-8·x2+1<0

x2+1x3-8<0

Obliczamy miejsce zerowe wielomianu Wx=x2+1x3-8.

x2+1x3-8=0

x2+1=0 lub x3-8=0

sprzeczność lub x3=8

bo x2+1>0 lub x=2

R1ETXPkJFHnFW

x(-, 2)
Zbiór rozwiązań nierówności to (-, 2).

Przykład 3

Rozwiążemy nierówność x3-5x2+4x0metodą grupowania wyrazówmetoda grupowania wyrazówmetodą grupowania wyrazów.

x35x2+4x0

x(x25x+4)0

x(x2x4x+4)0

x[x(x1)4(x1)]0

x(x1)(x4)0

Miejsca zerowe wielomianu to 0, 1, 4.

RcqxfdTZP6xoL
x0, 14, 

Zbiór rozwiązań nierówności to 0, 14, .

Przykład 4

Rozwiążemy nierówność 5x3+5x2-4x-4<0 metodą grupowania wyrazów.

5x3+5x2-4x-4<0

5x2x+1-4·x+1<0

x+15x2-4<0

Obliczymy miejsca zerowe wielomianu Wx=x+15x2-4.

x+15x2-4=0

x+1=0 lub 5x2-4=0

x=-1 lub x2=45

x=25 lub x=-25

x=255 lub x=-255

RdHPUqBaZaIos
x-, -1-255, 255

Zbiór rozwiązań nierówności to -, -1-255, 255.

Przykład 5

Rozwiążemy nierówność x4+3x2+2<0.

x4+3x2+2<0

x4+x2+2x2+2<0

x2x2+1+2·x2+1<0

x2+1x2+2<0

Wielomian Wx=x2+1x2+2 nie posiada miejsc zerowych bo x2+1>0 dla x oraz x2+2>0 dla x.

Nierówność nie posiada rozwiązania.

Słownik

nierówność wielomianowa
nierówność wielomianowa

każda z nierówności w postaci:

Wx>0 lub Wx0 lub Wx<0 lub Wx0

gdzie:
W – jest wielomianem stopnia n

metoda grupowania wyrazów
metoda grupowania wyrazów

polega na wielokrotnym wyciąganiu przed nawias wspólnego czynnika