Nierównością wielomianową stopnia $n$ nazywamy każdą z nierówności  postaci:

$W\left(x\right)>0$ lub $W\left(x\right)\ge 0$ lub $W\left(x\right)<0$ lub $W\left(x\right)\le 0$

gdzie:

$W$ – jest wielomianem stopnia $n$.

Rozwiążemy nierówność $x^3+3x^2-4x-12>0$ metodą grupowania wyrazów.

$x^3+3x^2-4x-12>0$

Grupujemy wyrazy pierwszy z drugim oraz trzeci z czwartym. Z pierwszej pary wyłączamy przed nawias jednomian $x^2$, a z drugiej pary liczbę $\left(-4\right)$.

$x^2\left(x+3\right)-4·\left(x+3\right)>0$

Wspólny czynnik $\left(x+3\right)$ wyłączamy przed nawias.

$\left(x+3\right)\left(x^2-4\right)>0$

Otrzymaliśmy nierówność wielomianowąnierówność wielomianowanierówność wielomianową zapisaną w postaci iloczynowej. Obliczymy teraz miejsce zerowe wielomianu $W\left(x\right)=\left(x+3\right)\left(x^2-4\right)$.

$\left(x+3\right)\left(x^2-4\right)=0$

$x+3=0$ lub $x^2-4=0$

$x+3=0$ lub $\left(x-2\right)\left(x+2\right)=0$

$x=\left(-3\right)$ lub $x=2$ lub $x=\left(-2\right)$

Szkicujemy wykres wielomianu zaczynając od prawej strony i od góry. Wszystkie pierwiastki wielomianu są pojedyncze więc wykres przecina oś $X$.

RTjkP4vM2c2g8

Rysunek przedstawia poziomą oś $X$ z zaznaczonymi na niej liczbami: $-3; -2; 2$. Liczby zaznaczono niezamalowanymi kółkami i poprowadzono przez nie wykres wielomianu tak, że od minus nieskończoności do minus trzech wykres znajduje się pod osią, w minus trójce przechodzi nad oś i wraca pod oś w punkcie minus dwa. Fragment nad osią oznaczono plusami znajdującymi się między osią a wykresem. Od minus dwójki do dwójki wykres przebiega pod osią i w dwójce przechodzi nad oś, co również zasygnalizowano plusami.

Zbiór rozwiązań nierówności tworzą wszystkie liczby $x$ takie, że $x\in \left(-3, -2\right)\cup \left(2, \infty \right)$.

Rozwiążemy nierówność $x^5+x^3-8x^2-8<0$ metodą grupowania wyrazów.

$x^5+x^3-8x^2-8<0$

$x^3\left(x^2+1\right)-8·\left(x^2+1\right)<0$

$\left(x^2+1\right)\left(x^3-8\right)<0$

Obliczamy miejsce zerowe wielomianu $W\left(x\right)=\left(x^2+1\right)\left(x^3-8\right)$.

$\left(x^2+1\right)\left(x^3-8\right)=0$

$x^2+1=0$ lub $x^3-8=0$

sprzeczność lub $x^3=8$

bo $x^2+1>0$ lub $x=2$

R1ETXPkJFHnFW

Rysunek przedstawia poziomą oś $X$ z zaznaczoną na niej cyfrą $2$. Cyfrę zaznaczono niezamalowanym kółkiem. Na ilustracji poprowadzono wykres wielomianu tak, że od minus nieskończoności do mdwóch wykres znajduje się pod osią, co oznaczono minusami znajdującymi się między osią a wykresem. Od dwójki do plus nieskończoności wykres przebiega nad osią.

$x\in \left(-\infty , 2\right)$

Zbiór rozwiązań nierówności to $\left(-\infty , 2\right)$.

Rozwiążemy nierówność $x^3-5x^2+4x\ge 0$ metodą grupowania wyrazówmetoda grupowania wyrazówmetodą grupowania wyrazów.

$x^3-5x^2+4x\ge 0$

$x\left(x^2-5x+4\right)\ge 0$

$x\left(x^2-x-4x+4\right)\ge 0$

$x\left[x\left(x-1\right)-4\cdot \left(x-1\right)\right]\ge 0$

$x\left(x-1\right)\left(x-4\right)\ge 0$

Miejsca zerowe wielomianu to $0$, $1$, $4$.

RcqxfdTZP6xoL

Rysunek przedstawia poziomą oś $X$ z zaznaczonymi na niej liczbami: $0; 1; 4$. Liczby zaznaczono zamalowanymi kółkami i poprowadzono przez nie wykres wielomianu tak, że od minus nieskończoności do zera wykres znajduje się pod osią, w zerze przechodzi nad oś i wraca pod oś w punkcie jeden. Fragment nad osią oznaczono plusami znajdującymi się między osią a wykresem. Od jeden do czwórki wykres przebiega pod osią i w czwórce przechodzi nad oś, co również zasygnalizowano plusami.

Zbiór rozwiązań nierówności to $⟨0, 1⟩\cup \left.⟨4, \infty \right)$.

Rozwiążemy nierówność $5x^3+5x^2-4x-4<0$ metodą grupowania wyrazów.

$5x^3+5x^2-4x-4<0$

$5x^2\left(x+1\right)-4·\left(x+1\right)<0$

$\left(x+1\right)\left(5x^2-4\right)<0$

Obliczymy miejsca zerowe wielomianu $W\left(x\right)=\left(x+1\right)\left(5x^2-4\right)$.

$\left(x+1\right)\left(5x^2-4\right)=0$

$x+1=0$ lub $5x^2-4=0$

$x=\left(-1\right)$ lub $x^2=\frac{4}{5}$

$x=\frac{2}{\sqrt{5}}$ lub $x=\left(-\frac{2}{\sqrt{5}}\right)$

$x=\frac{2\sqrt{5}}{5}$ lub $x=\left(-\frac{2\sqrt{5}}{5}\right)$

RdHPUqBaZaIos

Rysunek przedstawia poziomą oś $X$ z zaznaczonymi na niej liczbami: $-1; -\frac{2\sqrt{5}}{5}; \frac{2\sqrt{5}}{5}$. Liczby zaznaczono niezamalowanymi kółkami i poprowadzono przez nie wykres wielomianu tak, że od minus nieskończoności do minus jeden wykres znajduje się pod osią, co oznaczono minusami między osią a wykresem. Dalej w minus jeden wykres przechodzi nad oś i wraca pod oś w punkcie $-\frac{2\sqrt{5}}{5}$ i biegnie pod osią do punktu $\frac{2\sqrt{5}}{5}$, co również podkreślono minusami. W punkcie $\frac{2\sqrt{5}}{5}$ wykres ponownie przechodzi nad oś.

Zbiór rozwiązań nierówności to $\left(-\infty , -1\right)\cup \left(-\frac{2\sqrt{5}}{5}, \frac{2\sqrt{5}}{5}\right)$.

Rozwiążemy nierówność $x^4+3x^2+2<0$.

$x^4+3x^2+2<0$

$x^4+x^2+2x^2+2<0$

$x^2\left(x^2+1\right)+2·\left(x^2+1\right)<0$

$\left(x^2+1\right)\left(x^2+2\right)<0$

Wielomian $W\left(x\right)=\left(x^2+1\right)\left(x^2+2\right)$ nie posiada miejsc zerowych bo $x^2+1>0$ dla $x\in \mathrm{ℝ}$ oraz $x^2+2>0$ dla $x\in \mathrm{ℝ}$.

Nierówność nie posiada rozwiązania.

każda z nierówności w postaci:

$W\left(x\right)>0$ lub $W\left(x\right)\ge 0$ lub $W\left(x\right)<0$ lub $W\left(x\right)\le 0$

gdzie:
$W$ – jest wielomianem stopnia $n$

polega na wielokrotnym wyciąganiu przed nawias wspólnego czynnika