Infografika

Polecenie 1

Zapoznaj się z infografiką – staraj się najpierw samodzielnie rozwiązać zadania.

Rsz3Zden1ytnG

Ilustracja interaktywna. Ciąg

(a_{n})

określony jest wzorem:

\{\begin{array}{l} a_{1} = 5 \\ a_{2} = 10 \\ a_{n + 1} = 2 a_{n} - a_{n - 1} \end{array},

, gdzie

n \in \{2; 3; 4; \dots\}

. Wykażemy, że każdy wyraz tego ciągu jest wielokrotnością liczby

5

. Najpierw wykażemy, że ciąg

(a_{n})

jest arytmetyczny.,

a_{n + 1} = 2 a_{n} - a_{n - 1}

a_{n + 1} + a_{n - 1}

a_{n + 1} + a_{n - 1} 2

. Zapisana równość to związek między trzema kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego. Zatem ciąg

(a_{n})

jest ciągiem arytmetycznym. Wyznaczamy różnicę ciągu.,

r = a_{2} - a_{1}

r = 10 - 5 = 5

. Zapisujemy wzór ogólny ciągu.

a_{n} = 5 + (n - 1) \cdot 5

. Zapisujemy w prostszej postaci wzór ogólny ciągu.

a_{n} = 5 + 5 n - 5

a_{n} = 5 n

, gdy

n \in \{1; 2; 3; \dots\}

Kolejnymi wyrazami ciągu są iloczyny liczby

5

i liczby naturalnej dodatniej.

5, 10, 15, 20, 25, \dots

. Każdy wyraz ciągu

(a_{n})

jest wielokrotnością liczby

5

Polecenie 2

Znajdź pięć początkowych wyrazów ciągu $(b_{n})$ .

$\{\begin{cases} b_{1} = - 2 \\ b_{n + 1} = b_{n} - 3 \end{cases}$ , gdzie $n = 1, 2, 3, . . .$

$b_{1} = - 2$

$b_{2} = - 2 - 3 = - 5$

$b_{3} = - 5 - 3 = - 8$

$b_{4} = - 8 - 3 = - 11$

$b_{5} = - 11 - 3 = - 14$ .

Przeczytaj