Przeczytaj

Przykład 1

Szwaczka według planu powinna uszyć $10$ sukienek dziennie. Za uszycie jedenastej sukienki otrzymuje $30 zł$ , a za uszycie każdej następnej sukienki otrzymuje o $10 zł$ więcej niż za uszycie poprzedniej.

Oznaczając przez $s_{n}$ kwotę, którą otrzyma szwaczka za uszycie $n$ –tej sukienki ponad plan, możemy zapisać:

$s_{1} = 30$

$s_{2} = s_{1} + 10$

$s_{3} = s_{2} + 10$

$. . .$

$s_{n + 1} = s_{n} + 10$

Zauważmy, że liczby $s_{1}$ , $s_{2}$ , $s_{3}$ , $. . .$ , $s_{n}$ tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy $10$ .

Ciąg ten zdefiniowany jest wzorem rekurencyjnym.

$\{\begin{cases} s_{1} = 30 \\ s_{n + 1} = s_{n} + 10 \end{cases}$

Istotą definicji rekurencyjnej jest odwoływanie się do samej siebie. W takiej definicji ciągu w wyrażeniu definiującym, obok symbolu zmiennej n występuje symbol definiowanego ciągu. Zatem wyraz ciągu zależy nie tylko od zmiennej $n$ , ale też od jednego lub kilku wyrazów poprzednich.

Ciąg zdefiniowany rekurencyjnie

Definicja: Ciąg zdefiniowany rekurencyjnie

Mówimy, że ciąg jest zdefiniowany rekurencyjnie, jeżeli:

określony jest pewien skończony zbiór wyrazów tego ciągu (zwykle jest to pierwszy wyraz ciągu lub kilka jego pierwszych wyrazów),

pozostałe wyrazy ciągu są zdefiniowane za pomocą poprzednich wyrazów tego ciągu.

Wzór definiujący ciąg w taki sposób, nazywamy zależnością rekurencyjną.

Aby zapisać zależność rekurencyjną dla ciągu arytmetycznego (co najmniej trzywyrazowego), ustalamy najpierw pewną liczbę $a$ (pierwszy wyraz ciągu) i liczbę $r$ (różnicę ciągu).

Wzór rekurencyjny ciągu arytmetycznego $(a_{n})$ :

\{\begin{cases} a_{1} = a \\ a_{n + 1} = a_{n} + r \end{cases},

gdzie:
$a$ – pierwszy wyraz ciągu,
$r$ – różnica ciągu, $n = 1, 2, 3, 4, . . .$

Przykład 2

Zapiszemy wzór rekurencyjny ciągu arytmetycznegowzór rekurencyjny ciągu arytmetycznego siedmiowyrazowego $(a_{n})$ o wyrazach:

$3$ , $7$ , $11$ , $15$ , $19$ , $23$ , $27$ .

Odczytujemy pierwszy oraz drugi wyraz ciągu i określamy różnicę ciągu.

$a_{1} = 3$

$a_{2} = 7$

$r = 7 - 3 = 4$

Zapisujemy wzór

$\{\begin{cases} a_{1} = 3 \\ a_{n + 1} = a_{n} + 4 \end{cases}$ , gdzie $n = 1, 2, 3, . . ., 7$ .

Przykład 3

Ciąg $(a_{n})$ spełnia następujące warunki:

pierwszy wyraz jest równy $20$ , czyli $a_{1} = 20$ ,

każdy następny wyraz jest o $3$ mniejszy od poprzedniego.

Powyższe warunki pozwalają na określenie kolejnych wyrazów ciągu:

$a_{1} = 20$

$a_{2} = 20 - 3 = 17$

$a_{3} = 17 - 3 = 14$

$. . .$

Taki sposób wyznaczania wyrazów ciągu jest uciążliwy, bo gdybyśmy musieli obliczyć np. wyraz setny, to trwałoby to dość długo. Zatem wygodniej jest zapisać wzór ciągu w sposób rekurencyjny i na podstawie tego wzoru, znaleźć wzór ogólny ciągu.

Wzór rekurencyjny:

$\{\begin{cases} a_{1} = 20 \\ a_{n + 1} = a_{n} - 3 \end{cases}$ , gdzie $n = 1, 2, 3, . . .$

Określamy różnicę ciągu.

$r = 17 - 20 = - 3$

Zapisujemy wzór ogólny ciągu.

$a_{n} = 20 + (n - 1) \cdot (- 3) = - 3 n + 23$

Wiemy już, że na podstawie wzoru rekurencyjnego możemy znaleźć dowolny wyraz ciągu, ale procedura jest wtedy znacznie dłuższa, niż przy wykorzystaniu wzoru ogólnego. Gdyż, aby wyznaczyć wyraz $k$ –ty, musimy znać wszystkie wyrazy o numerach mniejszych od $k$ .

Przykład 4

Znajdziemy piąty wyraz ciągu arytmetycznego $(c_{n})$ określonego wzorem

$\{\begin{cases} c_{1} = 1 \\ c_{n + 1} = c_{n} + 1 \end{cases},$

gdzie:
$n = 1, 2, 3, . . .$

Wyznaczamy kolejne wyrazy ciągu, aż do $c_{5}$ .

$c_{1} = 1$

$c_{2} = 1 + 1 = 2$

$c_{3} = 2 + 1 = 3$

$c_{4} = 3 + 1 = 4$

$c_{5} = 4 + 1 = 5$

Odpowiedź:

Piąty wyraz ciągu jest równy $5$ .

Wzór rekurencyjny ciągu możemy zapisać również w przypadku, gdy znamy co najmniej dwa wyrazy ciągu arytmetycznego lub zależności łączące wyrazy ciągu.

Przykład 5

Wyrazy ciągu arytmetycznego $(a_{n})$ , określonego dla $n \geq 1$ , spełniają poniższy układ równań.

$\{\begin{cases} a_{3} + a_{6} = - 0, 5 \\ a_{4} + a_{7} = - 1, 5 \end{cases}$

Wyznaczymy wzór rekurencyjny tego ciągu.

Aby zapisać wzór rekurencyjny, na podstawie podanego układu równań, będziemy musieli znaleźć pierwszy wyraz ciągu i różnicę ciągu.

Zauważmy, że $a_{4} = a_{3} + r$ i $a_{7} = a_{6} + r$ .

Układ równań zapisany w treści zadania przyjmuje więc postać:

$\{\begin{cases} a_{3} + a_{6} = - 0, 5 \\ a_{3} + r + a_{6} + r = - 1, 5 \end{cases} .$

Odejmujemy od drugiego równania pierwsze równanie układu i wyznaczamy różnicę ciągu.

$2 r = - 1$

$r = - \frac{1}{2}$

Zapisujemy wyrazy pierwszego równania za pomocą pierwszego wyrazu ciągu i różnicy ciągu.

$a_{3} + a_{6} = - 0, 5$

$a_{1} + 2 r + a_{1} + 5 r = - 0, 5$

W miejsce $r$ podstawiamy wyznaczoną liczbę.

$2 a_{1} + 7 \cdot (- \frac{1}{2}) = - 0, 5$

$2 a_{1} = 3$

Z otrzymanego równania wyznaczamy pierwszy wyraz ciągu.

$a_{1} = 1, 5$

Zapisujemy wzór rekurencyjny ciągu.

$\{\begin{cases} a_{1} = 1, 5 \\ a_{n + 1} = a_{n} - 0, 5 \end{cases}$ , gdzie $n = 1, 2, 3, . . .$

Na podstawie ciągu rekurencyjnego, możemy badać własności ciągu arytmetycznego.

Przykład 6

Zbadamy monotoniczność ciągu arytmetycznego $(a_{n})$ określonego wzorem:

$\{\begin{cases} a_{1} = - \sqrt{3} \\ a_{n + 1} = a_{n} + 2 \sqrt{3} \end{cases}$ , gdzie $n = 1, 2, 3, . . .$

Obliczamy drugi wyraz ciągu i wyznaczymy różnicę ciągu.

$a_{2} = - \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} = \sqrt{3}$

$r = \sqrt{3} - (- \sqrt{3}) = 2 \sqrt{3}$

Zapisujemy wzór ogólny ciągu.

$a_{n} = - \sqrt{3} + (n - 1) \cdot 2 \sqrt{3} = 2 n \sqrt{3} - 3 \sqrt{3}$

Badamy różnicę dwóch kolejnych wyrazów ciągu.

$a_{n + 1} - a_{n} = (2 n \sqrt{3} - \sqrt{3}) - (2 n \sqrt{3} - 3 \sqrt{3})$

$a_{n + 1} - a_{n} = 2 n \sqrt{3} - \sqrt{3} - 2 n \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} = 2 \sqrt{3} > 0$

Różnica jest liczbą dodatnią. Wnioskujemy, że $a_{n + 1} > a_{n}$ , a to oznacza, że ciąg jest rosnący.

Odpowiedź:

Ciąg $(a_{n})$ jest ciągiem rosnącym.

Słownik

wzór rekurencyjny ciągu arytmetycznego

wzór rekurencyjny ciągu arytmetycznego $(a_{n})$ :

\{\begin{cases} a_{1} = a \\ a_{n + 1} = a_{n} + r \end{cases},

gdzie:
$a$ – pierwszy wyraz ciągu,
$r$ – różnica ciągu, $n = 1, 2, 3, 4, . . .$

Wprowadzenie

Infografika

Słownik