Infografika

Polecenie 1

Zapoznaj się z infografiką, a następnie wykonaj polecenie.

RC7R9PtJGlNa9

Infografika przedstawia własności funkcji sinus. W lewym górnym rogu znajduje się rysunek trójkąta prostokątnego. Przeciwprostokątna jest podpisana literą c. Pionowa przyprostokątna jest podpisana literą b. Pozioma przyprostokątna jest podpisana literą a. Kąt pomiędzy przyprostokątną b i przeciwprostokątną jest podpisany literą alfa. Kąt między przyprostokątną a i przeciwprostokątną jest podpisany

90^{\circ} - α

. Obok trójkąta znajdują się następujące informacje:

\sin α = \frac{a}{c}

oraz

\sin (90^{\circ} - α) = \frac{b}{c}

.
Definicja: Sinusem kąta ostrego w trójkącie prostokątnym nazywamy stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciwko tego kąta do długości przeciwprostokątnej. Na infografice wypisane zostały dwie własności:
pierwsza:

0 < \sin α < 1

oraz
druga: dla kąta ostrego funkcja

\sin α

jest funkcją rosnącą.
Na końcu infografiki zaproponowano następujący przykład: Wyznaczymy wartości sinusów kątów ostrych w trójkącie prostokątnym o przyprostokątnych 5 i 12 oraz kątach alfa i beta.
Rozwiązanie: Na początku znajduje się grafika, która przedstawia trójkąt prostokątny. Wierzchołki trójkąta to kolejno: A, B, C. Pionowa przyprostokątna A C ma długość pięć. Pozioma przyprostokątna B C ma długość dwanaście. Przeciwprostokątna A B jest podpisana literą c. Kąt pomiędzy krótszą przyprostokątną i przeciwprostokątną jest podpisany literą alfa. Kąt między dłuższą przyprostokątną i przeciwprostokątną jest podpisany literą beta.

x

to długość przeciwprostokątnej
Z twierdzenia Pitagorasa mamy, że

5^{2} + 12^{2} = x^{2}

, czyli

x^{2} = 169

, stąd

x = 13

\sin α = \frac{5}{13}

\sin β = \frac{12}{13}

Polecenie 2

Wiadomo, że iloczyn sinusów kątów ostrych w trójkącie prostokątnym wynosi $\frac{1}{5}$ . Wyznacz sumę sinusów tych kątów.

Wprowadźmy oznaczenia, jak na rysunku.

RAxd9DWrdRrVn

Grafika przedstawia trójkąt prostokątny. Wierzchołki prostokąta to kolejno: A, B, C. Przeciwprostokątna AB jest podpisana literą c. Pionowa przyprostokątna AC jest podpisana literą b. Pozioma przyprostokątna BC jest podpisana literą a. kąt pomiędzy przyprostokątną b i przeciwprostokątną jest podpisany literą alfa. Kąt między przyprostokątną a i przeciwprostokątną jest podpisany literą beta.

Z rysunku mamy, że $\sin α = \frac{a}{c}$ oraz $\sin β = \frac{b}{c}$ .

Wiadomo, że $\sin α \cdot \sin β = \frac{1}{5}$ .

Stosując oznaczenia z rysunku, otrzymujemy równanie:

$\frac{a}{c} \cdot \frac{b}{c} = \frac{1}{5}$ .

Mamy wyznaczyć $\sin α + \sin β$ .

Podnosząc to wyrażenie do kwadratu, otrzymujemy, że ${(\sin α + \sin β)}^{2} = {(\frac{a}{c} + \frac{b}{c})}^{2} = \frac{a^{2} + b^{2} + 2 a b}{c^{2}}$ .

Z twierdzenia Pitagorasa wynika, że $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ , więc ${(\sin α + \sin β)}^{2} = \frac{c^{2} + 2 a b}{c^{2}} = 1 + 2 \cdot \frac{a}{c} \cdot \frac{b}{c}$ .

Zatem ${(\sin α + \sin β)}^{2} = 1 + 2 \cdot \frac{1}{5} = \frac{7}{5}$ .

Otrzymujemy, że $\sin α + \sin β = \frac{\sqrt{35}}{5}$ lub $\sin α + \sin β = - \frac{\sqrt{35}}{5}$ .

Ponieważ w trójkącie prostokątnym $\sin α > 0$ oraz $\sin β > 0$ , zatem $\sin α + \sin β = \frac{\sqrt{35}}{5}$ .

Przeczytaj

Sprawdź się