Infografika

Polecenie 1

Zapoznaj się z infografiką, a następnie wykonaj polecenie.

RC7R9PtJGlNa9

Infografika przedstawia własności funkcji sinus. W lewym górnym rogu znajduje się rysunek trójkąta prostokątnego. Przeciwprostokątna jest podpisana literą c. Pionowa przyprostokątna jest podpisana literą b. Pozioma przyprostokątna jest podpisana literą a. Kąt pomiędzy przyprostokątną b i przeciwprostokątną jest podpisany literą alfa. Kąt między przyprostokątną a i przeciwprostokątną jest podpisany dziewięćdziesiąt stopni, minus, alfa. Obok trójkąta znajdują się następujące informacje: sinus alfa, równa się, początek ułamka, a, mianownik, c, koniec ułamka oraz sinus nawias dziewięćdziesiąt stopni, minus, alfa zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, b, mianownik, c, koniec ułamka.
Definicja: Sinusem kąta ostrego w trójkącie prostokątnym nazywamy stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciwko tego kąta do długości przeciwprostokątnej. Na infografice wypisane zostały dwie własności:
pierwsza: zero, mniejszy niż, sinus alfa, mniejszy niż, jeden
oraz
druga: dla kąta ostrego funkcja sinus alfa jest funkcją rosnącą.
Na końcu infografiki zaproponowano następujący przykład: Wyznaczymy wartości sinusów kątów ostrych w trójkącie prostokątnym o przyprostokątnych 5 i 12 oraz kątach alfa i beta.
Rozwiązanie: Na początku znajduje się grafika, która przedstawia trójkąt prostokątny. Wierzchołki trójkąta to kolejno: A, B, C. Pionowa przyprostokątna A C ma długość pięć. Pozioma przyprostokątna B C ma długość dwanaście. Przeciwprostokątna A B jest podpisana literą c. Kąt pomiędzy krótszą przyprostokątną i przeciwprostokątną jest podpisany literą alfa. Kąt między dłuższą przyprostokątną i przeciwprostokątną jest podpisany literą beta. x to długość przeciwprostokątnej
Z twierdzenia Pitagorasa mamy, że pięć indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, dwanaście indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, czyli x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, sto sześćdziesiąt dziewięć, stąd x, równa się, trzynaście.
sinus alfa, równa się, początek ułamka, pięć, mianownik, trzynaście, koniec ułamka, sinus BETA, równa się, początek ułamka, dwanaście, mianownik, trzynaście, koniec ułamka.

Polecenie 2

Wiadomo, że iloczyn sinusów kątów ostrych w trójkącie prostokątnym wynosi $\frac{1}{5}$ . Wyznacz sumę sinusów tych kątów.

Wprowadźmy oznaczenia, jak na rysunku.

RAxd9DWrdRrVn

Grafika przedstawia trójkąt prostokątny. Wierzchołki prostokąta to kolejno: A, B, C. Przeciwprostokątna AB jest podpisana literą c. Pionowa przyprostokątna AC jest podpisana literą b. Pozioma przyprostokątna BC jest podpisana literą a. kąt pomiędzy przyprostokątną b i przeciwprostokątną jest podpisany literą alfa. Kąt między przyprostokątną a i przeciwprostokątną jest podpisany literą beta.

Z rysunku mamy, że $\sin α = \frac{a}{c}$ oraz $\sin β = \frac{b}{c}$ .

Wiadomo, że $\sin α \cdot \sin β = \frac{1}{5}$ .

Stosując oznaczenia z rysunku, otrzymujemy równanie:

$\frac{a}{c} \cdot \frac{b}{c} = \frac{1}{5}$ .

Mamy wyznaczyć $\sin α + \sin β$ .

Podnosząc to wyrażenie do kwadratu, otrzymujemy, że ${(\sin α + \sin β)}^{2} = {(\frac{a}{c} + \frac{b}{c})}^{2} = \frac{a^{2} + b^{2} + 2 a b}{c^{2}}$ .

Z twierdzenia Pitagorasa wynika, że $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ , więc ${(\sin α + \sin β)}^{2} = \frac{c^{2} + 2 a b}{c^{2}} = 1 + 2 \cdot \frac{a}{c} \cdot \frac{b}{c}$ .

Zatem ${(\sin α + \sin β)}^{2} = 1 + 2 \cdot \frac{1}{5} = \frac{7}{5}$ .

Otrzymujemy, że $\sin α + \sin β = \frac{\sqrt{35}}{5}$ lub $\sin α + \sin β = - \frac{\sqrt{35}}{5}$ .

Ponieważ w trójkącie prostokątnym $\sin α > 0$ oraz $\sin β > 0$ , zatem $\sin α + \sin β = \frac{\sqrt{35}}{5}$ .

Przeczytaj

Sprawdź się