Przeczytaj

Sinus kąta ostrego w trójkącie prostokątnym

Definicja: Sinus kąta ostrego w trójkącie prostokątnym

Sinusem kąta ostrego w trójkącie prostokątnym nazywamy stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciwko tego kąta do długości przeciwprostokątnej.

RWfrQaWtzenYB

Grafika przedstawia trójkąt prostokątny. Wierzchołki prostokąta to kolejno: A, B, C. Przeciwprostokątna AB jest podpisana literą c. Pionowa przyprostokątna AC jest podpisana literą b. Pozioma przyprostokątna BC jest podpisana literą a. kąt pomiędzy przyprostokątną b i przeciwprostokątną jest podpisany literą alfa. Kąt między przyprostokątną a i przeciwprostokątną jest podpisany literą beta.

Do oznaczenia funkcji sinus używa się skrótu „sin”.

Stosując oznaczenia z rysunku, mamy, że przyprostokątną leżąca naprzeciwko kąta $α$ jest bok o długości $a$ oraz przyprostokątną leżąca naprzeciwko kąta $β$ jest bok o długości $b$ .

Zatem zgodnie z definicją mamy:

$\sin α = \frac{a}{c}$ oraz $\sin β = \frac{b}{c}$ .

Z przyjętych oznaczeń wynika, że $β = 90 ° - α$ , więc $\sin (90 ° - α) = \frac{b}{c}$ .

Przykład 1

Obliczymy wartości sinusów kątów ostrych w trójkącie prostokątnymsinusów kątów ostrych w trójkącie prostokątnym z rysunku.

R1KC5UXYfGyaG

Grafika przedstawia trójkąt prostokątny. Pionowa przyprostokątna ma długość 4. Pozioma przyprostokątna ma długość 6. Kąt pomiędzy krótszą przyprostokątną a przeciwprostokątną jest podpisany literą alfa. Kąt między dłuższą przyprostokątną a przeciwprostokątną jest podpisany literą beta.

Oznaczmy długość przeciwprostokątnej jako $x$ .

Z twierdzenia Pitagorasa otrzymujemy, że $4^{2} + 6^{2} = x^{2}$ .

Z równania otrzymujemy, że $x^{2} = 52$ , zatem $x = \sqrt{52} = 2 \sqrt{13}$ lub $x = - \sqrt{52} = - 2 \sqrt{13}$ .

Ponieważ $x > 0$ , więc $x = \sqrt{52} = 2 \sqrt{13}$ .

Z definicji funkcji sinus otrzymujemy, że:

$\sin α = \frac{6}{2 \sqrt{13}} = \frac{3 \sqrt{13}}{13}$ ,

$\sin β = \frac{4}{2 \sqrt{13}} = \frac{2 \sqrt{13}}{13}$ .

Ważne!

Dla dowolnego kąta ostrego $α$ zachodzi zależność:

0 < \sin α < 1

Wyjaśnienie tej nierówności można zapisać w dwóch krokach:

nierówność $\sin α > 0$ wynika wprost z definicji funkcji sinus w trójkącie prostokątnym,
ponieważ w dowolnym trójkącie prostokątnym długość przyprostokątnej jest zawsze mniejsza od długości przeciwprostokątnej, zatem:
$\sin α = \frac{a}{c} < \frac{c}{c} = 1$ .

Wyznaczymy wartości sinusów niektórych kątów ostrych. Wykorzystamy do tego trójkąty charakterystyczne.

R1bUxNLlimHA9

Grafika przedstawia dwa trójkąty prostokątne. Pierwszy trójkąt jest równoramienny. Przyprostokątne mają długość a. Przeciwprostokątna ma długość a2. Kąty między przeciwprostokątnymi a przyprosotkątną wynoszą 45 stopni. Krótsza przyprostokątna drugiego trójkąta ma długość a. Dłuższa przyprostokątna ma długość a3. Przeciwprostokątna ma długość 2 a. Kąt pomiędzy krótszą przyprostokątną a przeciwprostokątną ma 60 stopni. Kąt między dłuższą przyprostokątną a przeciwprostokątną ma 30 stopni.

Korzystając z definicji funkcji sinus, otrzymujemy, że:

\sin 30 ° = \frac{a}{2 a} = \frac{1}{2}

\sin 45 ° = \frac{a}{a \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}

\sin 60 ° = \frac{a \sqrt{3}}{2 a} = \frac{\sqrt{3}}{2}

Przykład 2

Wyznaczymy wartość wyrażenia $\frac{2 \sin 30 ° - \sin 60 °}{3 \sin 45 °}$ .

Po podstawieniu mamy:

$\frac{2 \sin 30 ° - \sin 60 °}{3 \sin 45 °} = \frac{2 \cdot \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}}{3 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}} =$

$= \frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{3 \sqrt{2}}{2}} = \frac{2 - \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{2}{3 \sqrt{2}} = \frac{2 \sqrt{2} - \sqrt{6}}{6}$ .

Przykład 3

Wiadomo, że suma sinusów kątów ostrych w trójkącie prostokątnym wynosi $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ . Obliczymy iloczyn sinusów tych kątów.

Wprowadźmy oznaczenia, jak na rysunku.

RqacGKulTgdTS

Z rysunku mamy, że $\sin α = \frac{a}{c}$ oraz $\sin β = \frac{b}{c}$ .

Wiadomo, że $\sin α + \sin β = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

Stosując oznaczenia z rysunku, otrzymujemy równanie:

$\frac{a}{c} + \frac{b}{c} = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

Podnosząc obie strony równania do kwadratu, mamy, że:

${(\frac{a}{c} + \frac{b}{c})}^{2} = {(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2}$ .

Po przekształceniu równanie jest postaci:

$\frac{a^{2} + 2 a b + b^{2}}{c^{2}} = \frac{12}{9}$ .

Z twierdzenia Pitagorasa wynika, że $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ , więc $\frac{c^{2} + 2 a b}{c^{2}} = \frac{12}{9}$ .

Równanie możemy zapisać w postaci $1 + \frac{2 a b}{c^{2}} = \frac{12}{9}$ .

Zatem $\frac{a b}{c^{2}} = \frac{2}{3}$ , więc $\frac{a}{c} \cdot \frac{b}{c} = \frac{2}{3}$ .

Po podstawieniu, zgodnie z wcześniejszymi oznaczeniami, otrzymujemy, że $\sin α \cdot \sin β = \frac{2}{3}$ .

Przykład 4

Wyznaczymy długości przyprostokątnych w trójkącie prostokątnym o przeciwprostokątnej długości $10$ , jeżeli wiadomo, że sinus jednego kąta ostrego jest dwa razy większy od sinusa drugiego kąta ostrego.

R6OZAfTMdFzeq

Z warunków zadania wynika, że $\sin α = 2 \sin β$ oraz $c = 10$ .

Z trójkąta prostokątnego z rysunku mamy, że $\sin α = \frac{a}{c}$ oraz $\sin β = \frac{b}{c}$ .

Po podstawieniu do zależności $\sin α = 2 \sin β$ mamy, że:

$\frac{a}{c} = 2 \cdot \frac{b}{c}$ , czyli $a = 2 b$ .

Z twierdzenia Pitagorasa mamy, że

$c^{2} = b^{2} + {(2 b)}^{2}$ , więc $c = \sqrt{5} b$ .

Otrzymujemy równanie $10 = \sqrt{5} b$ , zatem $b = 2 \sqrt{5}$ .

Zatem przyprostokątne mają długości $a = 4 \sqrt{5}$ oraz $b = 2 \sqrt{5}$ .

Przykład 5

Wykażemy, że jeżeli kąt $α$ jest ostry oraz $\sin α = \frac{2}{3}$ , to $α > 30 °$ .

Wprowadźmy następujące oznaczenia, jak na rysunku:

R1SwF8B2hMFVJ

Grafika przedstawia trójkąt prostokątny. Pionowa przyprostokątna ma długość 2. Przeciwprostokątna ma długość 3. Kąt pomiędzy drugą przyprostokątną a przeciwprostokątną jest podpisany literą alfa.

Z rysunku możemy odczytać, że $\sin α = \frac{2}{3}$ .

Następnie przedłużmy przyprostokątną leżącą przy kącię prostym tak, aby przeciwprostokątna była długości $4$ i oznaczmy otrzymany kąt jako $β$ .

R1ExssM0gtxeJ

Grafika przedstawia dwa trójkąty prostokątne. Trójkąty te mają wspólną przyprostokątną. Jest to przyprostokątna o pionowej orientacji i ma długość 2. Przeciwprostokątna mniejszego trójkąta ma długość 3. Kąt między poziomą przyprostokątną a przeciwprostokątną jest podpisany literą alfa. Drugi trójkąt ma przeciwprostokątną o długości 4. Kąt między jego drugą przyprostokątną a przeciwprostokątną jest podpisany literą beta.

Z rysunku mamy, że $\sin β = \frac{2}{4}$ , co oznacza że $β = 30 °$ .

Ponieważ $α > β$ , więc $α > 30 °$ .

Ważne!

Funkcja sinus jest funkcją rosnącą dla $α \in (0, 90 °)$ .

Słownik

sinus kąta ostrego w trójkącie prostokątnym

stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciwko kąta do długości przeciwprostokątnej

Wprowadzenie

Infografika

Słownik